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3次方程式x^3+px^2+qx+r=0は絶対値が1である虚数解を持ちます。実数p,q,rの絶対値が等しいときの(p,q,r)の組を求めてください。(04,岡山)

$x^3+px^2+qx+r=0$ の解のひとつで、絶対値が1の虚数解を $\alpha$ とおく。

この $\alpha$ は複素数平面上の単位円上にあるので、 $\alpha={\cos x}+ \imath \sin x$ と表せる。（ただし、 $0\leq x \leq \pi {,} \pi \leq x \leq 2\pi$ )

これを、与えられた方程式に代入。

$x^3+px^2+qx+r=0$

$x(x^2+q)+px^2+r=0$

$(\cos x+ \imath \sin x)(1+q)+p+r=0$

$(1+q)\cos x + p + r + \imath(q+1)\sin x = 0$

よって
$(1+q)\cos x + p + r = 0 , (1+q)\sin x = 0$

xの範囲から、 $\sin x \neq 0$ なので、

$1 + q = 0$
$q=-1$

また、これより $p+r =0$
$(p,r)=(1,-1),(-1,1)$

したがって、 $(p,q,r) = (1,-1,-1),(-1,-1,1)$

by keiju

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最終更新：2010年12月29日 22:14

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