zを絶対値が1の複素数とします。√3+i+zの絶対値を最大値にする複素数zを求めてください。(お茶の水女子大)

$z=\cos x + \imath \sin x$ とおく。

$\sqrt{3} + \imath + z$ を $J$ とおいて、計算する。

$J=\sqrt{3} + \imath + \cos x + \imath \sin x=\sqrt{3}+\cos x +\imath(1+\sin x)$

$|J| = \sqrt{(\sqrt{3}+\cos x)^2+(1+\sin x)^2}=\sqrt{2\sqrt{3}\cos x +2\sin x + 4}$

$=\sqrt{2(\sin x + \sqrt{3}\cos x ) +4} = \sqrt{2\sin (x+\frac{\pi}{3})+4}$

よって $x=\frac{\pi}{6}$ の時、 $|J|$ は最大値 $\sqrt6$ をとる。

このとき、 $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{2} \imath$

解答者不明

下図より、
$z=a+bi$ とすると $a:b=\sqrt{3}:1$ 、また $a^2+b^2=1$ より、 $a=\frac{\sqrt3}{2},b=\frac{1}{2}$ であり、求めるzは
$z=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}i$

by meganelover

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最終更新：2010年12月29日 23:56

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