x,y,zが正の数で、x+y+z=1を満たすとき、1/x+4/y+9/zの最小値を求めてください。 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

Cauchy-Schwarzの不等式より
$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z})$
$\geq (\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}\frac{2}{\sqrt{y}}+\sqrt{z}\frac{3}{\sqrt{z}})^{2}=(1+2+3)^{2}=36$
等号は $x^{2}=\frac{y^{2}}{4}=\frac{z^{2}}{9}$ かつ $x+y+z=1$
すなわち $x=\frac{1}{6},y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{2}$ の時だから最小値は $36$

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最終更新：2011年01月01日 20:07

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x,y,zが正の数で、x+y+z=1を満たすとき、1 > x+4 > y+9 > zの最小値を求めてください。

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