三角形ABCの3つの内角A,B,Cに対して sin4A＋sin4B+sin4C=0 が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形ですか。（香川大）

$sin4A+sin4B+sin4C=2sin2(A+B)cos2(A-B)+sin4(\pi-A-B)$

$=2sin2(A+B)cos2(A-B)-sin4(A+B)=2sin2(A+B)(cos2(A-B)-cos2(A+B))$

$=4sin2(A+B)sin2Asin2B=4sin2(\pi-C)sin2Asin2B=-4sin2Asin2Bsin2C=0$
よって $sin2A=0$ or $sin2B=0$ or $sin2C=0$

$sin2A=0$ とすると
$0<A<\pi$ から $0<2A<2\pi$ なので
$2A=\pi,A=\frac{\pi}{2}$
他の場合も同様なので $\triangle{ABC}$ は直角三角形

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最終更新：2011年01月01日 21:07

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