極限値lim[n→∞][{(2n+1)(2n+2)…(2n+n)}/{(n+1)(n+2)…(n+n)}]^(1/n)の値を求めてください。(04,横浜市大) - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

$\lbrace\frac{(2n+1)(2n+2)\cdots(2n+n)}{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}\rbrace^\frac{1}{n}$
$=\lbrace\frac{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})\cdots(2+\frac{n}{n})}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{n}{n})}\rbrace^\frac{1}{n}$
$=exp(\frac{1}{n}log\frac{(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})\cdots(2+\frac{n}{n})}{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})\cdots(1+\frac{n}{n})})$
$=exp(\frac{1}{n}(\sum_{k=1}^{n}log(2+\frac{k}{n})-\sum_{k=1}^{n}log(1+\frac{k}{n})))$
$\rightarrow exp(\int_{2}^{3}log(2+x)dx-\int_{1}^{2}log(1+x)dx)(n\rightarrow{\infty})$
$=exp(\int_{4}^{5}logydy-\int_{2}^{3}logydy)$
$=exp(\left[xlogx-x\right]_{4}^{5}-\left[xlogx-x\right]_{2}^{3})$
$=exp(5log5-3log3-6log2)=exp(log\frac{5^{5}}{2^{6}3^{3}})=\frac{5^{5}}{2^{6}3^{3}}$

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最終更新：2011年01月01日 22:27

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極限値lim[n→∞][{(2n+1)(2n+2)…(2n+n)} > {(n+1)(n+2)…(n+n)}]^(1 > n)の値を求めてください。(04,横浜市大)

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