tokyorika_00

$f(s+t)=e^{t}f(s)+e^{s}f(t)\cdots(\ast)$
$(\ast)$ で $s=t=0$ として $f(0)=f(0)+f(0)$ より $f(0)=0$
よって $f(s+t)-f(t)=e^{s}f(t)-f(t)+e^{t}f(s)-e^{t}f(0)$
$=(e^{s}-1)f(t)+(f(s)-f(0))e^{t}$
$\frac{f(s+t)-f(t)}{s}=\frac{e^{s}-1}{s}f(t)+\frac{f(s)-f(0)}{s}e^{t}$

$s\rightarrow0$ とすると
$f'(t)=f(t)+f'(0)e^{t}=f(t)+e^{t}$
$-e^{-t}f(t)+e^{-t}f'(t)=1$
$\frac{d}{dt}(e^{-t}f(t))=1$
$e^{-t}f(t)=t+C,f(x)=(x+C)e^{x}$
$f&#039;(0)=1$ より $C=0$
よって $f(x)=xe^{x}$ (これは条件を満たす)

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最終更新：2011年01月02日 11:19

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