a,b,cはa+b+c=0を満たす数です。x=a^2+b^2+c^2とします。a^4+b^4+c^4をxで表してください。(09,北大)

$0=(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=x+2(ab+bc+ca)$ より
$ab+bc+ca=-\frac{1}{2}x$
$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(ab+bc+ca)^{2}-2abc(a+b+c)$
$=(-\frac{1}{2}x)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}$
よって
$a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$=x^{2}-2\ast\frac{1}{4}x^{2}=\frac{1}{2}x^{2}$

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最終更新：2011年01月02日 11:42

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