nagoya_03

$\vert sinx_{1}sinx_{2}\cdots sinx_{n}\vert\leq(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n},\vert cosx_{1}cosx_{2}\cdots cosx_{n}\vert\leq(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$
のどちらも成立しないとすると
$\vert sinx_{1}sinx_{2}\cdots sinx_{n}\vert >(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$ かつ $\vert cosx_{1}cosx_{2}\cdots cosx_{n}\vert >(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}$
よって
$\vert sinx_{1}cosx_{1}sinx_{2}cosx_{2}\cdots sinx_{n}cosx_{n}\vert >(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n}=(\frac{1}{2})^{n}$
$\vert \frac{1}{2}sin2x_{1}\frac{1}{2}sin2x_{2}\cdots\frac{1}{2}sin2x_{n}\vert >(\frac{1}{2})^{n}$
$\vert sin2x_{1}sin2x_{2}\cdots sin2x_{n}\vert >1$
ところが $\vert sin2x_{k}\vert\leq 1(k=1,2,\cdots ,n)$ なのでこれは成立しない.よって矛盾.

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最終更新：2011年01月02日 11:57

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