x^2-x+1=0の解をα、βとします。α^2+β^2、α^3+β^3、α^45+β^45の値をそれぞれ求めて下さい。(東北学院大)

解と係数の関係より
$\alpha +\beta=1,\alpha\beta=1$
よって
$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=1^{2}-2\ast 1=-1$

$(x+1)(x^{2}-x+1)=x^{3}+1$ に $x=\alpha,\beta$ を代入して
$0=\alpha^{3}+1,0=\beta^{3}+1$
$\alpha^{3}=\beta^{3}=-1$
よって
$\alpha^{3}+\beta^{3}=-2$
$\alpha^{45}+\beta^{45}=(\alpha^{3})^{15}+(\beta^{3})^{15}=(-1)^{15}+(-1)^{15}=-2$

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最終更新：2011年01月02日 12:06

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