gifu_09

$5^{x}=81$ より $xlog_{3}5=5,\frac{1}{x}=\frac{1}{5}log_{3}5$
$135^{y}=243$ より $ylog_{3}135=6,y(3+log_{3}5)=6,\frac{1}{y}=\frac{3+log_{3}5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}log_{3}5$

よって
$k=m(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}log_{3}5)-\frac{n}{5}log_{3}5$
$=\frac{m}{2}+(\frac{m}{6}-\frac{n}{5})log_{3}5$
$k,\frac{m}{2},\frac{m}{6}-\frac{n}{5}$ は実数, $log_{3}5$ は無理数なので
$\frac{m}{6}-\frac{n}{5}=0,5m=6n$
5,6は互いに素なので $m=6m',n=5n'(m',n'\in N)$ とおけ,
$k=3m'\geq 3$
よって $k$ の最小値は3

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最終更新：2011年01月02日 12:24

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