0,f(x+y)=f(x)f(y)e^(-xy)が成り立ちます。f'(0)=2となるf(x)を求めてください。(03,筑波) - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki - atwiki（アットウィキ）

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実数全体で定義された微分可能な関数 $f(x)$ を考えます。すべての実数x,yについて $f(x)0,f(x+y)=f(x)f(y)e^{-xy}$ が成り立ちます。 $f&#039;(0)=2$ となる $f(x)$ を求めてください。(03,筑波)

$f(x+y)=f(x)f(y)e^{-xy}$
において $x=y=0$ として
$f(0)=(f(0))^{2}$ $f(x)&gt;0$ より $f(0)=1$

$f(x+y)-f(x)=f(x)f(y)e^{-xy}-f(x)$
$=f(x)(f(y)e^{-xy}-1)$ より
$\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=f(x)\frac{f(y)e^{-xy}-1}{y}$
$g(y)=f(y)e^{-xy}$ として
$=f(x)\frac{g(y)-g(0)}{y}$

$y\rightarrow 0$ として
$f&#039;(x)=f(x)g&#039;(0)$
$g'(y)=f'(y)e^{-xy}-xf(y)e^{-xy}$ より $g&#039;(0)=2-x$

よって
$f&#039;(x)=f(x)(2-x)$
$\frac{f'(x)}{f(x)}=2-x$
積分して
$log{f(x)}=C_{1}+2x-\frac{1}{2}x^{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^{2}+2+C_{1}$
$f(x)=C_{2}e^{-\frac{1}{2}(x-2)^{2}}$

$f&#039;(0)=2$ より $C_{2}=e^{2}$
$f(x)=e^{-\frac{1}{2}(x-2)^{2}+2}$

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最終更新：2011年01月05日 15:11