chiba_10 - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

• 角Cが直角である三角形ABCを考えます。辺BCの長さは3以上の素数,辺CA,ABの長さは自然数とします。tanAもtanBも整数にならないことを示してください。(10,千葉)

三角形ABCの角A,B,Cの対辺をそれぞれa,b,cとする。
である。
（１）
これが整数のとき、aはbの倍数である。しかしaは素数であるから、そのようなときa=b。
このとき三平方の定理より


であり、cの長さは自然数という条件に反する。
これで、背理法により示された。
（２）
これが整数のとき、aはbの素因数であるからb=kaと書けることが必要十分条件。(kは自然数　∵bは自然数)
このとき、三平方の定理より


であるから、cが整数となるとなるための必要十分条件はが平方数であること。
このとき、と置け、（n≠0,nは自然数)
であるが、このような(n+k,n-k)は(1,1)(-1,-1)
しかしこのときnまたはkが0になってしまい、n,kは自然数という条件に合わなくなる。
よって背理法により示された。

以上よりは整数にはならない。

by meganelover