関数f(x,y)=x^4-4x^2y+5y^2+4y+8が最小値をとるときの(x,y)とその最小値を求めてください。(摂南大)

関数f(x,y)=x^4-4x^2y+5y^2+4y+8が最小値をとるときの(x,y)とその最小値を求めてください。(摂南大)

$x^2=t$ とし、tを固定してf(t,y)をyの関数として考える。
$f(x,y)=x^4-4x^2y+5y^2+4y+8$
$=t^2-4ty+5y^2+4y+8$
$=5y^2+(4-4t)y+t^2+8$
$=5(y+\frac{2-2t}5 )^2+\frac{t^2+8t+36}5$
$=5(y+\frac{2-2t}5 )^2+\frac{(t+4)^2+20}5$
ここで $(y+\frac{2-2t}5 )^2\geq 0$ (∵y,tは実数）
∴ $y=\frac{2t-2}5$ のとき最小値 $\frac{(t+4)^2+20}5$
$t=x^2$ より $t\geq 0$ 。このとき最小値 $\frac{(t+4)^2+20}5$ の最小値は
$t=0,(x=0)$ のとき $\frac{36} 5$

以上より $x=0,y=-\frac52$ のとき最小値 $\frac{36} 5$

by meganelover

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最終更新：2011年01月09日 18:27

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