9cards - ますぼっと＠問題・解答まとめwiki

1から9までの整数がもれなく記されたカードが9枚ある。
このカードの中から任意に1枚抜き出し、その数字を記録しもどのカードの中に戻すという操作をn回繰り返します。
記録された数の積が5で割り切れる確率、10で割り切れる確率をそれぞれ求めてください。(98名大)


<積が5で割り切れる確率>
「積が5で割りきれる確率」＝「少なくとも一回は5を引く確率」＝「1-(一回も5を引かない確率)」である。
一回も5を引かない確率は　(8/9)^n
よって求める確率は　1-(8/9)^n　(答)


<積が10で割りきれる確率>
「積が10で割りきれる確率」＝「(積が5で割り切れる確率)-(積が5で割り切れるが奇数になる確率)」である。
「積が5で割り切れるが奇数になる確率」＝「1回は5を引き、残りのn-1回は1,3,5,7,9のいずれかを引く確率」なので
nC1*1/9*(5/9)^(n-1)＝n*5^(n-1)/9^n

よって求める確率は　1-(8/9)^n-n*5^(n-1)/9^n＝1-(8^n+n*5^(n-1))/9^n　(答)