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• x<y<zを満たす自然数について(1/x)+(1/y)+(1/z)=1/2を満たす組(x,y,z)の中で、xが最大となる組をすべて求めてください。(信州)

xの最大値を求める。
x=6のとき、(1/x)+(1/y)+(1/z)の最大値は1/2より小さいため不適。
x=5のとき、1/y+1/z=3/10
このとき、両辺に30yzをかけて、
30z+30y=9yz
(3y-10)(3z-10)=100
5<y<zを考慮すると、考えうる(3y-10,3z-10)の組はない。
したがってxは4以下。
x=4のとき


4yzを両辺にかけて整理して

(y-4,z-4)の組は4<y<zを考慮すると
(1,16)(2,8)の2通り。
(1,16)のとき
y=5,z=20
(2,8)のとき
y=6,z=12

よって、xが最大となる(x,y,z)の組は
(4,5,20)(4,6,12)

by meganelover