tokyorika97

平面上のベクトル↑a,↑bが|↑a+3↑b|=1,|3↑a-↑b|=1を満たすように動きます。|↑a+↑b|の最大値,最小値を求めてください。(97,東京理科大)

$|\vec a+3\vec b|=1$ ・・・①の平方を $|3\vec a-\vec b|=1$ ・・・②の平方からひいて
$|3\vec a-\vec b|^2-|\vec a+3\vec b|^2=0$
$8|\vec a|^2-12\vec a\cdot \vec b-8|\vec b|^2=0$
$2|\vec a|^2-3\vec a\cdot \vec b-2|\vec b|^2=0$
$(2\vec a+\vec b)\cdot (\vec a-2\vec b)=0$ ・・・②'
ここで $\vec c=2\vec a+\vec b,\vec d=\vec a-2\vec b$ とすると
$\vec a=\frac{2\vec c+\vec d}5,\vec b=\frac{\vec c-2\vec d}5$
また $\vec c\cdot \vec d=0$
①に代入して
$|\vec c-\vec d|=1$
平方して、②'を考えて
$|\vec c|^2+|\vec d|^2=1$
$|\vec d|^2=1-|\vec c|^2$ ・・・③
ここで、
$|\vec a+\vec b|^2$
$=|\frac{2\vec c+\vec d}5+\frac{\vec c-2\vec d}5|^2$
$=\frac1{25}|3\vec c+\vec d|^2$
$=\frac1{25}(9|\vec c|^2+|\vec d|^2)$
$=\frac1{25}(8|\vec c|^2+1)$
ここで、 $8|\vec c|^2\geq 0$ より、
$|\vec a+\vec b|^2\geq\frac1{25}$

～以下蛇足かもしれません。～
この最小値が実現するか考える。
$|\vec a+\vec b|^2=\frac1{25}$ のとき、 $|\vec c|^2=0$
よって、 $|\vec c|=0$ 。③より $|\vec d|=1$
$\vec c=2\vec a+\vec b$ より
$2\vec a+\vec b=0$ よって
$\vec b=-2\vec a$ ・・・④
また $\vec d=\vec a-2\vec b$ より
$|\vec a-2\vec b|=1$
④より
$|5\vec a|=1$
$|\vec a|=\frac15$

以上から $|\vec a|=\frac15$ 、 $\vec b=-2\vec a$ である $\vec a,\vec b$ をとれば最小値 $\frac15$
by meganelover

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最終更新：2011年01月16日 13:07

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