4桁の整数で、その下二桁の数と上二桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。
10 ≦ x ≦ 99 , 0 ≦ y ≦ 99 なる自然数x,yをとり、求める4桁の整数を100x+yと置く。
ただし、4桁の整数の10の位が０の時は、yは一桁の数とする。
①10 ≦ x+y ≦ 198 である。
問題の条件が成り立つとき、100x+y = (x+y)^2 が成り立つ。
変形して、 ②99x = (x+y-1)(x+y) となる。
左辺は11の倍数なので、右辺も11の倍数である。
[a]x+y が11の倍数の時
x+y=11k (k:自然数 , 1 ≦ k ≦ 18 ∵① )と置ける。
② ⇔ 99x=11k(11k-1) ⇔ 9x=k(11k-1) である。
この左辺は9の倍数なので、右辺も9の倍数。
kと11k-1共に3の倍数となることはないので、
(∵tを自然数とし、k=3t とおくと、11k-1=33t-1 となり、
kは3の倍数であるが、11k-1 は3の倍数でない。)
よって、k または 11k-1 が9の倍数。
kが9の倍数の時、③k=9,18。
11k-1が9の倍数の時、
pを自然数とすると、11k-1=9p と置ける。
変形して 11(k-5)=9(p-6) となる。
右辺は9の倍数なので、左辺も9の倍数。
よって、qを整数として、k-5=9q ⇔ k=9q+5 と置ける。
1 ≦ k ≦ 18 より、④k=5,14。
③、④より、k=5,9,14,18である。
②とx+y=11kから、
k=5のとき、(99x=55*54 かつ x+y-1==54) ⇔ (x=66,y=-11)
k=9のとき、(99x=99*98 かつ x+y-1=98) ⇔ (x=98,y=1)
k=14のとき、(99x=154*153 かつ x+y-1=153) ⇔ (x=238,y=-84)
k=18のとき、(99x=198*197 かつ x+y-1=197) ⇔ (x=394,y=-196)
10 ≦ x ≦ 99 , 0 ≦ y ≦ 99 より、(x,y)=(98,1)のみが適する。
[b]x+y-1 が11の倍数の時
x+y-1=11k (k:自然数 , 1 ≦ k ≦ 18 ∵① )と置ける。
② ⇔ 99x=11k(11k+1) ⇔ 9x=k(11k+1) である。
この左辺は9の倍数なので、右辺も9の倍数。
kと11k+1共に3の倍数となることはないので、
(∵tを自然数とし、k=3t とおくと、11k+1=33t+1 となり、
kは3の倍数であるが、11k+1 は3の倍数でない。)
よって、k または 11k+1 が9の倍数。
kが9の倍数の時、⑤k=9,18。
11k+1が9の倍数の時、
pを自然数とすると、11k+1=9p と置ける。
変形して 11(k-4)=9(p-5) となる。
右辺は9の倍数なので、左辺も9の倍数。
よって、qを整数として、k-4=9q ⇔ k=9q+4 と置ける。
1 ≦ k ≦ 18 より、⑥k=4,13。
⑤、⑥より、k=4,9,13,18である。
②とx+y-1=11kから、
k=4のとき、(99x=44*45 かつ x+y=45) ⇔ (x=20,y=25)
k=9のとき、(99x=99*100 かつ x+y=100) ⇔ (x=99,y=100)
k=13のとき、(99x=143*144 かつ x+y=144) ⇔ (x=208,y=-64)
k=18のとき、(99x=198*199 かつ x+y=199) ⇔ (x=398,y=-199)
10 ≦ x ≦ 99 , 0 ≦ y ≦ 99 より、(x,y)=(20,25)のみが適する。
以上[a],[b]を併せて、求める数は 9801 と 2025 である。
