谷山・志村予想 - ぷーれ @ wiki

谷山・志村予想

谷山・志村予想とは

「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーである」といった予想である。

これだけではピンとこない読者も多いのではなかろうか?この予想について少しだけ補足説明を加える。

有理数体とは?

有理数体とは有理数の体である。有理数は体なので有理数体である。

有理数とは？

有理数とは有理数である。有理数は体なので有理数全体は有理数体である。体は有理数ではない。

体とは?

体とは体である。体(からだ)のことではなく体(たい)のことである。

楕円曲線とは?

楕円曲線とは楕円曲線である。楕円曲線の楕円は楕円ではなく楕円積分と関係がある。

楕円積分とは?

楕円積分とは楕円積分である。楕円積分には第一種完全楕円積分と第二種完全楕円積分がありどちらも楕円積分である。楕円積分は楕円と関係があるが楕円曲線と楕円積分の関係より、やはり楕円曲線と楕円は直接関係しない。

積分とは？

積分とは積分である。積分の逆演算は微分で、積分の定義はリーマン積分とルベーグ積分がある。ルベーグ積分はリーマン積分より強力だが、広義リーマン積分よりは弱い。しかし、広義ルベーグ積分は、リーマン積分より強いルベーグ積分より強い広義リーマン積分よりも強い。

モジュラーとは？

モジュラーとはモジュラーである。モジュラー形式と関係がある。モジュラー形式はモジュラー群の関数である。似たものにモジュラー函数があるがモジュラー函数はモジュラー群の作用に不変なモジュラー形式である。

函数とは？

函数とは函数である。関数は函数であり函数も関数である。

• これで多くの読者には谷山・志村予想を完全に理解していただけたであろう。

フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理とはnを３以上の自然数としたときに
「x^n+y^n=z^n を満たす0でない自然数(x,y,z)の組は存在しない」という予想である。

• この予想は名前からわかる通り、ピエール・ド・フェルマーによって提唱された数学上の予想である。
  • 彼は自分の読んでいる本の余白に数学上の問題や、その証明を記していた。彼は上の定理について「私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。」と記した。
  • この一文に敬意を表して、未解決の予想であるにもかかわらず300年以上フェルマーの"最終定理"と呼ばれていた。
  • 最終はフェルマーの残した予想のうち最後のものであるという意味である。
    • 余談だが、フェルマーはn=4についての証明を残している。

谷山・志村予想とフェルマーの最終定理とのかかわり

• 谷山・志村予想は楕円曲線についての予想であった。
  • しかし、ドイツの数学者ゲルハルト・フライによって、谷山・志村予想とフェルマーの最終定理が関係していることが指摘される。
  • その後、フランスの数学者ジャン＝ピエール・セールがフライのアイデアを定式化し、アメリカの数学者ケネス・アラン・ケン・リベットによって証明された。
    • 勘違いしてはいけないがケン・リベットが証明したのは「谷山・志村予想が正しければフェルマーの最終定理も正しい」といったことである。
• この研究でフェルマーの最終定理の研究はかなり前進した。しかし谷山・志村予想の攻略は、ほぼ不可能。むしろフェルマーの最終定理と同等以上の問題であると考えられていた。
• そのため当時の数学界にこの問題に挑む者は現れなかった。…ワイルズただ1人を除いて…

「フェルマーの最終定理」から「フェルマー・ワイルズの定理」へ

• フェルマーの最終定理とアンドリュー・ワイルズの出会いは幼少期にさかのぼる。
• ワイルズが10歳の時、彼はフェルマーの最終定理と出会った。「この手でこの問題を解く！」そう決心した彼は数学の世界に足を踏み入れることとなった。
• しかし、現実は非情である。フェルマーの最終定理は数学界最大の孤高の牙城。他の数学の問題から孤立しており、比較的重要問題とは言えなかった。
  • それでいて難易度は高い。挑む者はほとんどいなかった。
  • ワイルズを指導した教官は彼がフェルマーの最終定理で才能を散らしてしまうことを恐れ、当時主流であった数論の世界へ導く。ワイルズはそれに従い、岩澤理論と楕円曲線論を研究した。
• ある日、彼に衝撃的なニュースが飛び込んでくる。それは、彼の主研究分野である楕円曲線とフェルマーの最終定理が密接に関係するということである。
  • これを受けてワイルズは谷山・志村予想の証明に取り掛かる。複数のアプローチを試した末に1993年6月23日、フェルマーの最終定理を証明したと発表した。実に7年もの月日が経っていた。
  • 証明の内容は驚異的で、当時最先端とされた数論のありとあらゆる定理が用いられていた。これを見てある数学者は「数学者というものは各人ばらばらの目標を立てて研究して来たように見えて、実は全員がフェルマー予想に取り組んでいたのだ。」と言ったという。
• その後、いくつかの不備が指摘されたが弟子たちと修正した。この修正の際に用いたのはワイルズが研究していた岩澤理論であった。
• 修正後の論文は認められ、アンドリュー・ワイルズはフェルマーの最終定理を完全に解決した。フェルマーの最終定理発表から実に360年後のことであった。

ぷーれ放送と谷山・志村予想

• ぷーれ放送のリスナー及びSDXのRTAプレイヤーに"みかん"という人物がいる。
• 彼はSDX内でいくつかの発見を行った。これらはコンマ秒の更新を可能にする地味だが画期的な発見であった。
  • しかし、それらの技を見た ある人物 が即座に更新案を提唱、実際みかん氏の発見したものより早いため結局みかん氏の技は忘れられることとなる。(みかんトロッコとみかんジェットとみかんホイールは忘れていい)
• 一方で、YottaトロッコやYottaジェットはみかん氏の技があったからこその発見である。この一連の流れを谷山・志村予想とフェルマーの最終定理に関連付けて「みかんトロッコは谷山・志村予想」「Yottaジェットは最終定理」などと言われるようになった。

• 上記のようなやり取りがぷーれ枠では定番の流れであったが、ついにみかん氏が格闘王の乱数調節でYotta氏を上回った。そのことを聞きつけたYotta氏は即座にさらなる乱数研究を開始した。みかん式乱数調節が最終定理となるのかどうか、今後の二人の乱数調査バトルから目が離せない状況である。

• これらの流れはあくまでも、みかん氏の発見があってこその技術革新である。また、みかんジェットはぷーれの「安定した方法が欲しい」という要望にみかん氏が答えて作られたものであり、Yottaジェットと比べるものではない(みかん氏談)という主張もある。過度な煽りに谷山・志村予想を持ち出すのは控えよう。

谷山志村予想→最終定理

みかんトロッコ→Yottaトロッコ
みかんジェット→Yottaジェット