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n-growing hierarchy

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n-growing hierarchy - (2013/12/10 (火) 23:50:44) の編集履歴(バックアップ)

　Fast-growing Hierarchyの応用で筆者が作成してみた成長階層表記です。FGHと同じく関数の大きさの評価にも使えると思いますが、どちらかというと数の大きさを評価する物差しとしての用途が主眼です。
　なお紛らわしくてごめんなさいなのですが、“n-growing hierarchy”という名称中の“n”は、下記定義中ではmに相当します。任意の自然数を種にして成長させる、という意味を込めた名称です。


定義

　※現在β版です。

[m]_0(n)=m\times n

[m]_{\alpha+1}(n)=[m]^{n-1}_\alpha(m) =\underbrace{[m]_\alpha([m]_\alpha(\dots([m]_\alpha}_{n-1}(m))\dots))

　　　　※ただし、n=1の時は、[m]^0_\alpha(m)=mとする

[m]_\alpha(n) = [m]_{\alpha[n]}(m)

　　　　※αが極限順序数で、α[n]がαに対する収束列である時

定義の基礎的な部分はFast-growing Hierarchyを参照してまずはそちらを理解して下さい。

mには任意の整数を入れることが出来ます（ただし、m<=2だと上手く成長しません）。
例えばm=10であれば、“10-growing hierarchy”となり、以下の様になります。


[10]_0(n)=10\times n
[10]_{\alpha+1}(n)=[10]^{n-1}_\alpha(10)
[10]_\alpha(n) = [10]_{\alpha[n]}(10)

この成長階層は、少なくとも初期の段階では、タワー表記に‘ぴったし’一致します。
（というより、そうなるように定義を検討して作成しています。）

[10]_1(n)=10^n
[10]_2(n)=10\uparrow\uparrow n
[10]_m(n)=10\uparrow^m n
[10]_\omega(n)=10\uparrow^n 10

[10]_{\omega+1}(n)=\left\begin{matrix}{ 10\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}10 \\ 10\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}10 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 10\underbrace{\uparrow\dots\uparrow}10 \\ 10}\end{matrix}\right\}n=\{10,n,1,2\}

これ以上はまだ未計算です。 （array表記に一致し続けるかもしれないしどこかで一致しなくなるかも知れない）