おこじょ数

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おこじょ数は、2013年にAetonによって定義された微小数、およびその逆数の巨大数のペアである。以下、2013/12/31時点での定義(Ver. 1.1)を示す。
http://www.geocities.jp/aetonal/files/LNtest2.txt(元々の定義文)

関数f(n)を以下で定める。

  • f(n)=x、ただし(10\uparrow\uparrow n)^{10\uparrow\uparrow n}=(10\uparrow)^{n+2}xとする。

多変数関数f(z,y,\dots,b,a)を以下で定める。

  • f(1,1,\square)=f(54,\square)
  • f(1,\square,n)=f(\frac{1}{f(1,\square,n-1)},\square)

    ※\frac{1}{f(1,\square,n-1)}が整数でない場合、代入時に四捨五入する(以下同様)。

  • f(\blacksquare,m,1,\square)=f(\blacksquare,m-1,54,\square)
  • f(\blacksquare,m,\square,n)=f(\blacksquare,m-1,\frac{1}{f(\blacksquare,m,\square,n-1)},\square)

ただし、

  • \square:0個以上の1
  • \blacksquare:0個以上の1以上の数
  • m,n:1より大きい数

とする。

Oe(n)=f(\underbrace{1,1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1},1)と定めた時の、

Oe(54)を冬おこじょ数(Okojo-ermine Number,Oe)とする。

また\frac{1}{Oe}を夏おこじょ数(Okojo-stoat Number,Os)、\frac{1}{Oe(n)}=Os(n)とする(この場合四捨五入の必要は無い)。

Oe(n)Os(n)をおこじょ関数とする。


計算

f(1)

(10↑↑1)^(10↑↑1) = 10^10 = 10^10^1 = 10^10^10^0
∴f(1)=0

f(2)

(10↑↑2)^(10↑↑2) = (10^10)^(10^10) = 10^(10×10^10) = 10^10^(1+10) = 10^10^11 = 10^10^10^10^x

\therefore f(2)=\text{log}_{10}(\text{log}_{10}11)
\fallingdotseq0.0176

f(3)

(10↑↑3)^(10↑↑3) = (10^10^10)^(10^10^10) = 10^10^(10+10^10) = 10^10^10000000010 = 10^10^10^10^10^x

\therefore f(3)
=\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}10000000010))
\fallingdotseq8.2\times10^{-12}

f(4)

(10↑↑4)^(10↑↑4) = (10^10^10^10)^(10^10^10^10) = 10^10^(10^10+10^10^10) = 10^10^10^10^10^10^x

\therefore f(4)=
\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(10^{10}+10^{10^{10}}))))

ここから先の計算が難しい。一つ準備が必要になる。

1.000...の対数

1に限りなく近く、しかし1より僅かながら大きい数に対数を掛ける事を考える。その“誤差”が計算機の計算精度より遥かに微量である場合に、それをどう計算するか。

筆者が高精度計算サイトを利用して試しに1+10^{-n}の対数を計算してみると、
log_10(1+10^-1) = 4.1392685…×10^-2
log_10(1+10^-2) = 4.3213737…×10^-3
log_10(1+10^-3) = 4.3407747…×10^-4
log_10(1+10^-4) = 4.3427276…×10^-5
log_10(1+10^-5) = 4.3429231…×10^-6
log_10(1+10^-6) = 4.3429426…×10^-7
log_10(1+10^-7) = 4.3429446…×10^-8
log_10(1+10^-8) = 4.3429447…×10^-9
log_10(1+10^-9) = 4.3429448…×10^-10
log_10(1+10^-10) = 4.3429448…×10^-11
となり、4.3429448…×10^{-n-1}に収束しているように見える。
これは、n=100の時でもn=10^100の時でもn=10^10^10^10の時でも有効だろうか?

筆者がこの関数を提示した際に、ふぃっしゅっしゅ氏も計算を試みている。
氏はテイラー展開を利用して、次の式が得られるとしている。
(注:筆者はテイラー展開に関する知識がありません)

|x|\ll 1のとき、\text{log}_e(1+x)\fallingdotseq x

この式を底の変換公式を使って変形すると、

\frac{\text{log}_{10}(1+x)}{\text{log}_{10}(e)}\fallingdotseq x

\text{log}_{10}(1+x)}\fallingdotseq \text{log}_{10}e}\times x
\fallingdotseq0.43429448\dots\times x

となり、先ほどの計算結果と一致する。
ここでN>>0であれば、

\text{log}_{10}(1+10^{-N})\fallingdotseq10^{-N}とできることになる。

以上がf(4)以降の計算に必要になる。

f(4)

=log_10(log_10(log_10(log_10( 10^10+10^10^10 ))))

 ※10^10+10^10^10=1000…00010000000000、つまり1の後に0がおよそ10^10個続いた後に1が来る10^10桁の数なので、次の様に近似変形できる。

≒log_10(log_10(log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^10^10 ))))

 ※(1+微小数)が現れたので、これに先ほどの対数近似を適用できる。

≒log_10(log_10(log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^10^10 ))))
=log_10(log_10(log_10(log_10( 10^(10^-10^10+10^10) ))))
=log_10(log_10(log_10( 10^-10^10+10^10 )))
≒log_10(log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^10 )))
≒log_10(log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^10 )))
=log_10(log_10(log_10( 10^(10^-10^10+10) )))
=log_10(log_10( 10^-10^10+10 ))
≒log_10(log_10( (1+10^-10^10)×10^1 ))
≒log_10(log_10( 10^10^-10^10×10^1 ))
=log_10(log_10( 10^(10^-10^10+1) ))
=log_10( 1+10^-10^10 )

つまりf(4)\fallingdotseq10^{-10^{10}}となる。

f(n)

これまでの経緯を追っていくと、
f(n)=\underbrace{
\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\dots(\text{log}_{10}
}_{n}(10\uparrow\uparrow(n-2)+10\uparrow\uparrow(n-1)))\dots))とできる。

また、f(4)で行ったような計算をf(5)、f(6)にも同様に当てはめて行くと(計算過程は省略)、最終的に

f(n)\fallingdotseq10^{-10\uparrow\uparrow(n-2)}
=\frac{1}{10\uparrow\uparrow(n-1)}に近似する。これは(10\uparrow\uparrow(n-1))^{-1}とも書けるので、以降はこの表記を利用する。

以降の計算

  • f(1,1)=f(54)\fallingdotseq(10\uparrow\uparrow53)^{-1}\dots Oe(1)
  • f(1,2)=f(f(1,1)^{-1})\fallingdotseq f(10\uparrow\uparrow53)
</li></ul>
<p>\fallingdotseq(10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow53)^{-1}

    • f(2,1)=f(1,54)\fallingdotseq((10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}    ※(52↑↑↑55)^-1 > f(2,1) >≒ (53↑↑↑55)^-1
    • f(2,2)=f(1,f(2,1)^{-1})\fallingdotseq
</li></ul>
<p>(10\uparrow\uparrow\uparrow(10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}

      • f(3,1)=f(2,54)\fallingdotseq
</li></ul>
<p>((10\uparrow\uparrow\uparrow)^{53}(10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}    ※(54↑↑↑↑55)^-1 > f(3,1) >≒ (55↑↑↑↑55)^-1

        • f(4,1)\fallingdotseq
</li></ul>
<p>((10\uparrow^4)^{53}(10\uparrow^3)^{53}(10\uparrow^2)^{54}53)^{-1}    ※(54↑↑↑↑↑55)^-1 > f(4,1) >≒ (55↑↑↑↑↑55)^-1

          • f(1,1,1)=f(54,1)\gtrsim(55\uparrow^{55}55)^{-1}
</li></ul>
<p>=\{55,55,55\}^{-1}=\{55,2,1,2\}^{-1}\dots Oe(2)

            • f(1,1,2)=f(f(1,1,1)^{-1},1)\gtrsim\{55,55,\{55,55,55\}\}^{-1}=\{55,3,1,2\}^{-1}
            • f(1,2,1)=f(1,1,54)\gtrsim\{55,55,1,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>=\{55,2,2,2\}^{-1}>G^{-1}

              • f(1,3,1)=f(1,2,54)\gtrsim\{55,55,2,2\}^{-1}=\{55,2,3,2\}^{-1}
              • f(2,1,1)=f(1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\lesssim\{53,2,1,3\}^{-1}

                • f(2,1,2)=f(1,f(2,1,1)^{-1},1)
</li></ul>
<p>\gtrsim\{55,55,\{55,55,53,2\},2\}^{-1}\lesssim\{53,3,1,3\}^{-1}

                  • f(2,2,1)=f(2,1,54)\lesssim\{53,55,1,3\}^{-1}
</li></ul>
<p>\gtrsim\{55,2,2,3\}^{-1}

                    • f(2,3,1)=f(2,1,54)\gtrsim\{55,55,2,3\}^{-1}
</li></ul>
<p>\gtrsim\{55,1,3,3\}^{-1}

                      • f(3,1,1)=f(2,54,1)\gtrsim\{55,55,53,3\}^{-1}
</li></ul>
<p>\lesssim\{53,2,1,4\}^{-1}

                        • f(1,1,1,1)=f(54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,54\}^{-1}
</li></ul>
<p>\gtrsim\{54,2,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(3)

                          • f(1,1,2,1)=f(1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\gtrsim\{55,2,2,1,2\}^{-1}>F_1^{-1}

                            • f(1,2,1,1)=f(1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\lesssim\{53,2,1,2,2\}^{-1}

                              • f(2,1,1,1)=f(1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\lesssim\{53,2,1,1,3\}^{-1}

                                • f(1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,54\}^{-1}
</li></ul>
<p>\gtrsim\{54,2,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(4)>F_2^{-1} ※旧おこじょ数がおおよそ新Oe(4)程度となる。

                                  • f(1,1,1,2,1)=f(1,1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,1,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\gtrsim\{55,2,2,1,1,2\}^{-1}

                                    • f(1,1,2,1,1)=f(1,1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,1,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\lesssim\{53,2,1,2,1,2\}^{-1}

                                      • f(1,2,1,1,1)=f(1,1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,1,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\lesssim\{53,2,1,1,2,2\}^{-1}

                                        • f(2,1,1,1,1)=f(1,54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,2\}^{-1}
</li></ul>
<p>\lesssim\{53,2,1,1,1,3\}^{-1}

                                          • f(1,1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,54\}^{-1}
</li></ul>
<p>\gtrsim\{54,2,1,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(5)


                                            Oe=Oe(54)=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})\gtrsim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\}^{-1}
\gtrsim\{54,55(1)2\}^{-1}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)^{-1}

                                            Os=Oe^{-1}=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})^{-1}\lesssim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\}
\lesssim\{54,55(1)2\}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)

                                            最終更新:2014年02月17日 12:46