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＞＞161の定義した数

昔の2chの//www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln022.htmlにて、>>161氏がグラハム数を用いて定義した以下の数がある。

161 名前：１３２人目の素数さん ：02/06/20 22:25
　>>156　じゃあグラハム数でいってみよう

グラハム数の定義はご存知だと思うが3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3（これがどれだけ超巨大かはグラハム数スレ参照）
の数だけ3と3の間に\uparrowが挟まった数を1段階として、2段階は1段階の数だけ3と3の間に\uparrowがある数と
繰り返した63段階目の数がグラハム数と定義されてる。
　この前段階の数だけ\uparrowが挟まる数が次の段階という63回の変換の1回をＧ変換と名付ける。
「Ｎ０１　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
　Ｎ０２　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
　Ｎ０３　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
　Ｎ０４　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
とやっていって、Ｎｏがグラハム数回まで到達したら終り
‥‥だけだと面白くないので　
このＮｏの繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
　　～この繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
上と同じく1行目がＮ01、2行目がＮ02としてＮ0グラハム数までいって終了　　
　
‥‥だけだと面白くないので　
このＮ0の繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
　　～この繰り返しをグラハム数回のＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した
上と同じく1行目がＮＯ1、2行目がＮＯ2としてＮＯグラハム数までいって終了
　　　
以上のように延々繰り返してＮＯの種類がグラハム数種類に到達した時の数

この後ふぃっしゅ数が定義されるのですが、そこで皆の興味はふぃっしゅ数に行ってしまい、
この数を具体的に求めようという人はいなかったみたいです。
ということでこの値を具体的に求めてみたいんだけど、どうも意味の解釈で躓いてよくわかりません（´・ω・`）
たぶんチェーン表記で表記可能なオーダーだろうとは予測してはいますが。

  • 解釈

というかこれ、定義とはいいつつも、かなり曖昧な部分を含んでるような気がします。 まず、G変換を繰り返すという文章で始まっていますが、そのG変換を開始する最も最初の数が何か？という部分が抜けています。 とりあえず、グラハム数に倣って、3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow3を最初の数、ということにでもしましょうか。

ところで、グラハム数の項で述べたとおり、その大きさを図示するとこうなります。
G=\left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\}64

G変換とは、上図のような段重ねを一つ積み重ねる変換、と解釈できますね。
つまり最初の方の、「グラハム数回だけＧ変換した数」は、以下の様になるはずです。

\left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\}G =\left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\}64 ※　容量の関係で表記を一部削ってます（´・ω・`）

この段階で、3\rightarrow3\rightarrow3\rightarrow3を超えますね。3\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow3よりは小さいですが。

となると、次の「グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数」は、

\left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\}64

という風になり、横の段重ねが一つ増えることになります。
つまり、最初の「Ｎ０１」列、すなわち
「グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返し」
の部分は、さっきの横の段重ねを繰り返すこと、すなわち、以下の様に解釈できますね。

\left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix}\left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\}\dots\end{matrix}\right\} \left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\}64

さぁこっからが大変である。以下の数行をどう解釈していいものか。

　Ｎ０１　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
　Ｎ０２　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
　Ｎ０３　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
　Ｎ０４　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した数回変換した～この繰り返しを
とやっていって、Ｎｏがグラハム数回まで到達したら終り

「この繰り返しをN回」だったらわかりやすいんだけれども、問題の文は、「この繰り返しを～の繰り返しを～の繰り返しを～」などと意味が簡潔しないまま次が書かれてるもんだから単純に読むと訳が解らなくなる。
　筆者はこれを以下の様に解釈しました。つまり、文章の記述が入れ子構造になってるんじゃないかと。

この繰り返しを（～の繰り返しを（～の繰り返しを（・・・（～の繰り返しを　N回）・・・）回）回）回」
\begin{matrix} \underbrace{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad} \\ G\text{ times nested} \end{matrix}

　この入れ子の回数は、文中の意味から当然グラハム数回となります。 　例えば「10の10の10の10乗乗乗」→「10の（10の（10の10乗）乗）乗」と同じような感覚です。

　さて、こう解釈すると、曖昧な部分がもう一つ浮き彫りになります。つまり、上記の入れ子の最深部「（～の繰り返しを　N回）」の『N』の部分が、示されていないのです。問題の文には、「Ｎｏがグラハム数回まで到達したら」としか書いていません。
　ということでとりあえず、ここの部分を補完して、このNの部分を、グラハム数としましょう。こうすることで、やっとその大きさを数式で記すことができるようになりました。そして、その大きさは、次の数ぐらいになります。

\newcommand{\katamarI}{ \left.\begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ \underbrace{\;\quad\vdots\quad\;} \\ 3\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}3 \\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3 \end{matrix}\right\} } </p><p>\left\begin{matrix} \underbrace{\begin{matrix} \underbrace{\katamarI\left\katamarI\dots\right\}\katamarI G} \\ \underbrace{\katamarI\left\katamarI\dots\right\}\katamarI G} \\ \vdots \end{matrix}} \\ \underbrace{\katamarI\left\katamarI\dots\right\}\katamarI G} \\ G\end{matrix}\right\}G

これをチェーン表記で示すと、およそ3\rightarrow3\rightarrow G\rightarrow4ぐらいの大きさとなり、
\begin{matrix} >3\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow5 \\ <3\rightarrow3\rightarrow3\rightarrow5 \end{matrix} の範囲に収まります。

レス主は、このように記述すると、もっと解りやすかったんじゃないかなと思います。

　Ｎ０１　グラハム数の回数だけ
　Ｎ０２　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した～と繰り返した数の回数だけ
　Ｎ０３　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した～と繰り返した数の回数だけ
　Ｎ０４　グラハム数回だけＧ変換した数回変換した数回変換した数回変換した～と繰り返した数の回数だけ
とやっていって、Ｎｏがグラハム数回まで到達したら終り

　先ほどの引用文と比べると、その意味の辿り方が逆になっています。前者は入れ子文章を延々繰り返していった先に基礎の数字がある（べきだった）文章。こちらはまず基礎の数字を示した上で、それを元にどんどん拡大していく文章です。

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最終更新：2013年02月14日 21:44