下矢印表記

上矢印表記と違う点は、計算を左から行う点である。
例えば、 $a\downarrow b\downarrow c=(a\downarrow b)\downarrow c$ であり、 $a\downarrow\downarrow b\downarrow\downarrow c=(a\downarrow\downarrow b)\downarrow\downarrow c$ である。

その他の定義はタワー表記と一緒で、
$a\downarrow b=a^b$
$a\downarrow^n b=\underbrace{a\downarrow^{n-1}a\downarrow^{n-1}\dots \downarrow^{n-1}a\downarrow^{n-1}a}_{b}$
である。

計算を左から行う事については、
例えば $(a^b)^c=a^{bc}$ となり、指数が掛算されるだけになるので、あまり面白くない。しかし、それは累乗の連続↓↓に関することであって、さらに↓↓↓や↓↓↓↓を実際に↑を用いて計算しようとすると、思いのほか計算が難しい。

↓を増やす効果は、結局は↑を増やす事、すなわちfast-growing hierarchyにおけるfω(n)レベルに近似するとされているが、実際にこれがどのような増え方をしていくのか、実際に検証を試みてみたい。

↓↓

$a\downarrow\downarrow b=(\dots(\underbrace{a^a)^a)^a\dots)^a}_{b}=a^{a^{b-1}}$

↓↓↓

$a\downarrow\downarrow\downarrow 2=a\downarrow\downarrow a=a^{a^{a-1}}$

$a\downarrow\downarrow\downarrow 3 =(a\downarrow\downarrow a)\downarrow\downarrow a =(a^{a^{a-1}})^{(a^{a^{a-1}})^{a-1}}$
aが小さくなければ、次の様に近似計算できる。
$\approx(a^{a^{a-1}})^{(a^{a^a})} =a^{a^{a-1+a^a}} \approx a^{a^{a^a}}$

同様の計算を繰り返せば、
$a\downarrow\downarrow\downarrow b\approx a\uparrow\uparrow(b+1)$

↓↓↓↓

$a\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow3 \approx(a\uparrow\uparrow(a+1))\uparrow\uparrow(a+1) \approx(a\uparrow\uparrow(2a+1))$

$\newcommand{\da}{\downarrow} \newcommand{\ua}{\uparrow} a\da\da\da\da b \approx(\dots(\underbrace{a\ua\ua(a+1))\ua\ua(a+1)\dots)\ua\ua(a+1)}_{b} \approx a\ua\ua(a(b-1)+1)$

↓↓↓↓↓

$a\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow2 =a\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow a \approx a\uparrow\uparrow(a(a-1)+1)$

$\newcommand{\da}{\downarrow} \newcommand{\ua}{\uparrow} a\da\da\da\da\da3 \approx (a\ua\ua(a(a-1)+1))\da\da\da\da a \approx (a\ua\ua(a(a-1)+1))\ua\ua((a\ua\ua(a(a-1)+1))(a-1)+1)$
$\newcommand{\ua}{\uparrow} \approx (a\ua\ua(a(a-1)+1))\ua\ua(a\ua\ua(a(a-1)+1)) \approx a\ua\ua a\ua\ua(a(a-1)+1)$

同様のプロセスを繰り返して、
$\newcommand{\da}{\downarrow} \newcommand{\ua}{\uparrow} a\da\da\da\da\da b \approx (a\ua\ua)^{b-1}(a(a-1)+1))>a\ua\ua\ua b$

↓↓↓↓↓↓

$a\downarrow^6 2=a\downarrow^5 a\approx (a\uparrow^2)^{a-1}(a(a-1)+1)$

$a\downarrow^6 3=(a\downarrow^5 a)\downarrow^5 a \approx((a\downarrow^5 a)\uparrow^2)^{a-1}((a\downarrow^5 a)((a\downarrow^5 a)-1)+1)$
$\approx((a\downarrow^5 a)\uparrow^2)^{a-1}(a\downarrow^5 a) =(a\downarrow^5 a)\uparrow^3 a$
$=((a\uparrow^2)^{a-1}(a(a-1)+1))\uparrow^3 a \approx(a\uparrow^2)^{2a-2}(a(a-1)+1)$