パップス－ギュルダンの定理

下記はWikipediaより

「平面上にある図形Fの面積を $S$ とし，Fと同じ平面上にありFを通らない軸Lの回りで Fを一回転させた回転体の体積を $V$ とする。回転させる図形Fの重心Gから回転軸Lまでの距離を $R$ としたとき、次式が成り立つ。
$V=2\pi RS$
この式は、
( 回転体の体積 $V$ ) = (回転による図形Fの重心Gの軌跡の長さ)×(図形Fの面積 $S$ )
と解釈することができる。」

たとえば，半円の重心の位置を，円の中心から $x_G$ とすると，重心の定義から

$x_G = \frac{\int_0^r \rho\cdot 2y\cdot x dx}{m} = \frac{2\rho}{m} \int_0^{\frac{\pi}{2}}r\sin\theta\cdot r\cos\theta \cdot (-r\sin\theta) d\theta$
　　　 $= \frac{4r}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^2\theta\cos\theta d\theta=\frac{4r}{\pi}\int_0^1u^2du=\frac{4r}{3\pi}$
ただし， $\rho$ は面密度であり，
$\rho=\frac{m}{\pi r^2/2}$