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機械工学 > 自由振動

自由振動

  • 外力のない場合の振動現象

運動方程式

１自由度の線形振動系の力学モデルにおける数式表現

m \frac{d^2 x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0

物理量

  • 質量m[kg]：加速度に比例して生じる慣性力の比例定数
  • ばね定数k[N/m]：釣り合い点からのずれに比例した復元力の比例定数
  • 粘性係数c[Ns/m]：速度に比例して効く減衰力の比例定数

固有値解析

解の指数関数表示

１自由度の線形自由振動系の運動方程式

m \frac{d^2 x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0

上式は２階の線型常微分方程式なので、一般解は次の形式で表せる。

x(t) = c_1 e^{s_1 t} + c_2 e^{s_2 t}

ここでs_1, s_2 を振動の固有値と呼ぶ

固有方程式

ms^2 + cs + k = 0

この方程式を解いて、固有値s_1, s_2は次の２つである

s = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4mk}}{2m}

固有値による振動状態の分類

  • 固有方程式の根によって振動は振動状態は分類される
  • 振動の分類は減衰・発散、振動・非振動の２つの属性で行われる
虚部 = 0(非振動) 虚部 ≠ 0(振動)
実部 = 0 一定値 一定振幅で振動
実部 < 0 非振動・減衰 振動・減衰
実部 > 0 非振動・発散 振動・発散
  • 振動の固有値：振動数と減衰特性をまとめて１つの複素数で表現したもの
    • 固有値の実部：減衰特性 負なら減衰（安定）、正なら発散（不安定）
    • 固有値の虚部：振動特性 非０なら振動、０なら非振動

無次元化

減衰比 \zeta と固有振動数 \omega _n を用いて書き換えた運動方程式

\frac{d^2 x }{dx^2} + 2\zeta \omega _n \frac{dx}{dt} + \omega_n ^2 x = 0

この時の固有値は

固有値のバリエーションが\zeta のみに依存する。

  • 単振動:\zeta = 0
  • 減衰振動:0 &lt; \zeta &lt; 1
  • 臨界減衰:\zeta = 1
  • 過減衰:\zeta &gt; 1

減衰比 \zeta

\zeta \equiv \frac{c}{2m \omega _n} = \frac{c}{2\sqrt{mk}}

振動波形が相似の場合、等しい値を取るように定義された減衰特性

固有振動数\omega _n

\omega _n \equiv \sqrt{\frac{k}{m}}

減衰0(\zeta = 0)のときの自由振動の振動数　 i.e. 振動波形が相似でも、固有振動数が異なれば振動の速さは異なる。

強制振動

  • 自由振動との違いは外力f(t)の有無
  • 外力によって生じる振動を強制振動
  • 強制振動＝自由振動成分 ＋　外力による振動成分

定常応答

  • 外力による振動成分 i.e.発生する振動から自由振動成分を取り除いたもの
  • 強制振動の数式における特殊解

過渡応答

  • 自由振動成分が減衰する前の、いわば振動が落ち着くまでの強制振動
  • 強制振動の数式おける余関数

参考文献

  • 短期集中：振動論と制御理論[工学系の数学入門]（吉田勝俊,2003,日本評論社）
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最終更新：2011年04月29日 14:20