nkym_memo @ ウィキ
nkym_memo @ ウィキ

機械工学 > 周波数応答

周波数応答

強制振動では「△Hzで揺らしたとき、振幅が○倍になりタイミングが□ずれる」という性質がある。 この○と□を周波数応答と呼ぶ。

応答の数式表現

外力として調和入力(三角関数)

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
である強制振動の数式モデルは次式となる

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

この解は、自由振動成分

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
、強制振動成分
#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
として次のように分解される

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

ハーモニックバランス法(調和平衡法)

定常応答

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
は調和入力と同じく三角関数であり、振動数も等しいため、 次のように表現できる。

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

これを微分して

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

これを数式モデルに代入して

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

それぞれcos,sinで整理すると、

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

となる。ここで、cosとsinの係数が常に0である必要があるため、

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

この未知数

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
についての連立方程式を解くことで解が得られる。 以上をハーモニックバランス法という。

振幅比、位相差の導入

　上式を解いてa1,a2は次のようになる。

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

これより定常応答の解は次のようになる。

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

ここで、次のような振幅比、位相差を導入する。

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

これより定常応答の解を書き直すと、

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

つまり、 強制振動の性質はこの２つの関数

#ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (./K(w)
.png,nolink,80%);、
#ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (./phi(w)
.png,nolink,80%);によって完全に数値化される。

振幅比
#ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (./K(w)
.png,nolink);

同じ機械でも運転速度ωを変えると、振動の大きさが変わることを表す 　例） 

車を運転中、ある速度からハンドルがぶれはじめ、さらに速度を上げるとぶれが止まるのは''共振現象''が原因

位相差
#ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (./phi(w)
.png,nolink);

同じ機械でも運転速度ωを変えると、動作タイミングがずれることを表す 　例） 

毎秒２往復させていた装置を、毎秒４往復にして同様に動く保証はない

複素数によるハーモニックバランス

運動方程式に複素数を代入し、実部と虚部をそれぞれ比較して解を求める。

  • 励振力
    #ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (./f(t)
    .png,nolink);
    #ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
  • 定常解
    #ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
    励振力は振幅と位相が変化することを踏まえて、次のように表す
    #ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

定常解を微分して

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

これらを運動方程式に代入して、

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

整理すると、

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

さらに、

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

よって

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

これより振幅比

#ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (./K(w)
.png,nolink,80%); 、位相差
#ref error ：ご指定のファイルが見つかりません。ファイル名を確認して、再度指定してください。 (./phi(w)
.png,nolink,80%); は、

#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。
#ref error ：ご指定のページがありません。ページ名を確認して再度指定してください。

これは先の方法による結果と一致する。


参考文献

  • 短期集中：振動論と制御理論[工学系の数学入門]（吉田勝俊,2003,日本評論社）
「周波数応答」をウィキ内検索
最終更新：2011年03月04日 14:14