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数学 > 複素関数 > 留数

単純極の留数を求める公式

f(z)がz = z_0で1位の極をとるとする。Laurent展開によりf(z)は次のよ うになる。

f(z) = \frac{b_1}{z - z_0} + a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_1) + \cdots

両辺に z - z_0をかけると、

(z - z_0) f(z) = b_1 + a_0(z - z_0) + a_1(z - z_1) + a_2(z - z_2) + \cdots

ここで z \to z_0の極限をとると、右辺は連続性から、

Res f(z) = b_1 = \lim _{ z \to z_0} (z - z_0)f(z)

となる。

任意の位数の極における留数を求める公式

Res f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \lim _{ z \to z_0} \left{ \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} (z -z_0)^m f(z)\right}

とくに2次の場合

Res f(z) = \lim _{ z \to z_0} \left{ \frac{d}{dz}\left[(z - z_0)^2 f(z)\right] \right}
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最終更新：2011年05月28日 20:13