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線型写像(linear mapping)

ベクトル空間V,V'があって、VからVへの写像をf:V \to V'とするとき、次の性質を持つfを''線型写像という。

^\forall a, b \in V, ^\forall k \in \bm{K}において、
  • f(\bm{a} + \bm{b}) = f(\bm{a}) + f(\bm{b})
  • f(k\bm{a}) = kf(\bm{a})
あるいは、同じことになるが、

^\forall a, b \in V, ^\forall k, \lambda \in \bm{K}において、
f(k\bm{a} +\lambda \bm{b}) = kf(\bm{a}) + \lambda f(\bm{b})

線型y = f(x) = Axにおいて、線型写像fを表現する行列Aを 表現行列
と呼ぶ。

準同型写像(homomorphism)

ベクトル空間VからV'への線型写像fにより、f(V) = {v' \in V' | ^\exists v \in V, v' = f(v)}とおいて、Vのfによる 像(image) と呼び、\mathrm{Im}f =f(V)と書く。

ここで写像において、一般に
「f(abの何らかの演算) = f(a)f(b)の何らかの演算」
が成り立つとき、fを 準同型写像 であるという。
すなわち、aおよびbによる演算結果を写像したものと、各々写像して演算を
施したものが成立する場合を意味している。この表記を
　　　\mathrm{Hom(V, V')} = {f:V \to V'、fは線型写像}
と書く。ベクトル空間での準同型写像は線型写像を指していることが多い。

同型写像(isomorphism)

写像f:V \to V'が線型写像であり、かつ逆写像f^{-1} : V' \to Vもまた線
型写像である場合、fは 同型写像 であるという。これを、
　　　V \cong V'
と書く。つまり、準同型\mathrm{Hom}(V, V')かつ、fが１対１上の写像（全単射）で
あればよい。
前述の準同型に準がつくのは、全単射とは限らないことによる。

自己準同型写像(endomorphism)

ベクトル空間V自身への写像f:V \to Vが線型写像のとき、すなわち\mathrm{Hom}(V,V)のときを自己準同型写像といい、\mathrm{End}(V)と表記する。つまり、
　　　\mathrm{End}(V) = \mathrm{Hom}(V, V)

自己同型写像(automorphism)

全単射となる自己への写像、つまりベクトル空間V \to Vへの写像を自己同型
写像といい、\mathrm{Aut}(V)と書く。
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最終更新：2011年04月09日 07:15