関数の対称移動 - math_sugaku @ ウィキ【10/3更新】

関数の対称移動

関数の対称移動について扱います。
特に2次関数の対称移動について、平行移動と絡めた問題も扱います。

x軸対称

関数y=f(x)のグラフ上の任意の点をP(a,b)とする。
これをx軸に関して対称移動した点をQ(a,−b)とする。

P(a,b)は関数y=f(x)上にあるから

b=f(a)

⇔-b=-f(a)

これはQが関数y=-f(x)上にあることを表している。
これより関数y=f(x)のグラフをx軸に関して対称移動したグラフを表す関数はy=−f(x)⟺−y=f(x)である。

y軸対称

関数y=f(x)のグラフ上の任意の点をP(a,b)とする。
これをy軸に関して対称移動した点をQ(-a,b)とする。

P(a,b)は関数y=f(x)上にあるから

b=f(a)

⇔b=f(-a)

これはQが関数y=f(-x)上にあることを表している。
これより関数y=f(x)のグラフをy軸に関して対称移動したグラフを表す関数はy=f(-x)である。

原点対称

原点での点対称はx軸対称のグラフの、y軸対称のグラフである。
よってy=-f(-x)⇔-y=f(-x)である。

まとめ

関数y=f(x)のグラフをx軸，y軸，原点に関して対称移動したグラフはそれぞれ次のようになる。

• x軸:−y=f(x)
• y軸:y=f(−x)
• 原点:−y=f(−x)

※ 答える際はy=・・・の形で答えます．

問題

放物線をx軸，y軸，原点に関して対称移動したグラフをそれぞれ求めよ。

...

x軸対称：

y軸対称：

原点対称:

放物線のグラフを原点に関して対称移動し，さらにそれをx軸方向に1，y軸方向に3だけ平行移動したところのグラフが得られた。このとき、a，b，cの値を求めよ．

...

逆から考える
頂点()
↓x軸方向に−1，y軸方向に−3
頂点(
↓原点対称

整理すると