展開と因数分解 - math_sugaku @ ウィキ【9/27更新】

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

公式

数Iの展開公式を紹介します。

• 中学範囲

• 高校範囲

①

②

③

④

⑤

⑥

練習問題

次の式を展開せよ
(1)(3x-5y)²

...

9x²-15xy+25y²

(2)(x+y-z)(x-y-z)

...

(x+y-z)(x-y-z)
={(x-z)+y}{(x-z)-y}
=(x-z)²-y²
=x²-2xz+z²-y²

(3)(x²+4x+8)(x²+4x-1)

...

(x²+4x+8)(x²+4x-1)
={(x²+4x)+8}{(x²+4x)-1}
=(x²+4x)²+7(x²+4x)-8
=x⁴+8x³+16x²+7x²+28x-8
=x⁴+8x³+23x²+28x-8

(4)(a-b+c)²-(a-b-c)²

...

(a-b+c)²-(a-b-c)²
={(a-b+c)+(a-b-c)}{(a-b+c)-(a-b-c)}　:x²-y²=(x+y)(x-y)の逆を利用
=(2a-2b)2c
=2ac-2bc

(5)(x+3)²(x-3)²

...

(x+3)²(x-3)²
=(x+3)(x+3)(x-3)(x-3)
=(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)
={(x+3)(x-3)}²
=(x²-9)²
=x⁴-18x²+81

(6)(x-2)(x+2)(x²+4)(x⁴+16)

...

(x-2)(x+2)(x²+4)(x⁴+16)
={(x-2)(x+2)}(x²+4)(x⁴+16)
=(x²-4)(x²+4)(x⁴+16)
={(x²-4)(x²+4)}(x⁴+16)
=(x⁴-16)(x⁴+16)
=x⁸-256

(7)(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)

...

(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+abより、
(x-1)(x-3)の(a+b)=-4,
(x+2)(x-6)の(a+B)=-4となるので、
(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)
={(x-1)(x-3)}{(x+2)(x-6)}
=(x²-4x+3)(x²-4x-12)
={(x²-4x)+3}{(x²-4x)-12}　：ここでくくれるため(x-1)と(x-3)ペア、(x+2)(x-6)ペアを作った。
=(x²-4x)²-9(x²-4x)-36
=x⁴-8x³+16x²-9x²+36x-36
=x⁴-8³+5x²+36x+36

(8)(4x+y)³

...

(4x+y)³
=64x³+3・16x²・y+3・4x+y²+y³
=64x³+48x²y+12xy²+y³

(9)(4x-3y+5)²

...

(4x-3y+5)²
=16x²+9y²+25+2・4x・(-3y)+2・(-3y)・5+2・5・4x
=16x²+9y²+25-24xy-30y+40x

ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)

公式

因数分解では基本的に展開の逆のことをします。

公式集

• 中学範囲

ma+mb=m(a+b)
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
a²-b²=(a+b)(a-b)
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

• 高校範囲

☆acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³
a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²

どんな問題もまずⅠ，Ⅱ，Ⅲを試みます。

• I共通因数があればくくる(全体ではなく個別にくくっても可)
• II公式が使えるか検討する(上の公式☆はたすきがけで対処)
• III同じ形を別の文字で置き換える。その後、因数分解の公式が使える形まで変形。

以上で最後まで解けない場合は下のいずれか、あるいは組み合わせて解きます。

• 文字が1種類のとき

複2次式(ax⁴+bx²+cの形)であれば強引に2乗の差を作る。

• 文字が2種類以上のとき

最低次数の文字について整理する。

たすきがけ

公式☆acx²+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)で、下の手順でa,b,c,dの値を見つける方法をたすきがけといいます。

a　 b        →bc   

×                  

c　 d        →ad   

---

ac　bd     (ad+bc)

• aとcを縦にかけてac
• bとdを縦にかけてbd
• aとd、bとcをそれぞれ斜めにかけてad,bc、足してad+bc

練習問題

面倒だった。誰か代わりにやってくれてもいいかもなぁなんて