必要条件・十分条件の問題の解き方 - math_sugaku @ ウィキ【10/2更新】

p⇒q

ならばなのは当たり前ですよね。
このように、「pならばqである。」が成り立つとき、数学では

といいます。
ちなみに読み方はそのまま、「pならば(⇒)q」と読みます。
このとき

は命題といいます。
また、

が成り立つとき、

は真である。といいます。
例えば、
『 は真である。』
のように使います。
逆に

のように成り立たないものは、
「偽である。」
といいます。
また、

が真でありかつ

も真のとき、

例:

と書きます。

※

とは、y²=1かつy>0という意味です。
つまり「y²=1よりy=±1,y>0よりy=1」と解釈できます。

また、

が偽であることの証明として、x=-1の時、|x|=1=-(-1)=-xになるので違うのは明らかですよね。
この時、x=-1という例は、「反例」といいます。
また、x<0とx≧0は真逆の性質ですが、この時を「x<0」について「x≧0」は「x<0」の反事象といいます。
ちなみに「x<0」という条件をAと表すとすると、「x≧0」はA(Aバー)と表します。

必要条件・十分条件

命題「p⟹q」が真であるとき，

pはqであるための十分条件

命題「p⟸q」が真であるとき，

pはqであるための必要条件

命題「p⟺q」が真であるとき，

pはqであるための必要十分条件

という風にいいます。

覚え方

対象となるものを2つ並べて矢印を引いた時、
十分な所から必要な所に流れる。(自然の摂理ですよね。)

(十分)⇒(必要)

命題の逆・裏・対偶を学習する際は下の問題と＋αを見ておいてください。

問題

日本は東京であるための(ア)
アに入る言葉を，

• (a)必要条件だが十分条件でない，
• (b)十分条件だが必要条件でない，
• (c)必要十分条件，
• (d)必要条件でも十分条件でもない

から選べ。

...

「東京⟹日本」
ですよね。
また、十分な所から必要な所に流れるので、
東京=(十分)⇒日本=(必要)
ですね。
つまり(a)の
「日本は東京であるための必要条件だが十分条件でない」
です。

x>3はx=4であるための何か。

...

x>3⟹x=4は偽(反例：x=5)
x>3⟸x=4は真．
よってx>3はx=4であるための必要条件であるが十分条件ではない。

+α(集合と条件)

上の問題で、

• P=日本
• Q=東京

とします。
すると
P={日本列島、富士山、関東地方、琵琶湖、新宿、原宿、銀座、沖縄、桜島・・・}
とPは様々な要素を持っています。
しかし、
Q={新宿、原宿、銀座、・・・}
のようにQはPの部分集合であるといえます。
つまり、

が成り立つとき

であるといえます。