atwiki-logo
  • 新規作成
    • 新規ページ作成
    • 新規ページ作成(その他)
      • このページをコピーして新規ページ作成
      • このウィキ内の別ページをコピーして新規ページ作成
      • このページの子ページを作成
    • 新規ウィキ作成
  • 編集
    • ページ編集
    • ページ編集(簡易版)
    • ページ名変更
    • メニュー非表示でページ編集
    • ページの閲覧/編集権限変更
    • ページの編集モード変更
    • このページにファイルをアップロード
    • メニューを編集
    • 右メニューを編集
  • バージョン管理
    • 最新版変更点(差分)
    • 編集履歴(バックアップ)
    • アップロードファイル履歴
    • ページ操作履歴
  • ページ一覧
    • ページ一覧
    • このウィキのタグ一覧
    • このウィキのタグ(更新順)
    • このページの全コメント一覧
    • このウィキの全コメント一覧
    • おまかせページ移動
  • RSS
    • このウィキの更新情報RSS
    • このウィキ新着ページRSS
  • ヘルプ
    • ご利用ガイド
    • Wiki初心者向けガイド(基本操作)
    • このウィキの管理者に連絡
    • 運営会社に連絡(不具合、障害など)
ページ検索 メニュー
math_sugaku @ ウィキ
  • ウィキ募集バナー
  • 目安箱バナー
  • 操作ガイド
  • 新規作成
  • 編集する
  • 全ページ一覧
  • 登録/ログイン
ページ一覧
math_sugaku @ ウィキ
  • ウィキ募集バナー
  • 目安箱バナー
  • 操作ガイド
  • 新規作成
  • 編集する
  • 全ページ一覧
  • 登録/ログイン
ページ一覧
math_sugaku @ ウィキ
ページ検索 メニュー
  • 新規作成
  • 編集する
  • 登録/ログイン
  • 管理メニュー
管理メニュー
  • 新規作成
    • 新規ページ作成
    • 新規ページ作成(その他)
      • このページをコピーして新規ページ作成
      • このウィキ内の別ページをコピーして新規ページ作成
      • このページの子ページを作成
    • 新規ウィキ作成
  • 編集
    • ページ編集
    • ページ編集(簡易版)
    • ページ名変更
    • メニュー非表示でページ編集
    • ページの閲覧/編集権限変更
    • ページの編集モード変更
    • このページにファイルをアップロード
    • メニューを編集
    • 右メニューを編集
  • バージョン管理
    • 最新版変更点(差分)
    • 編集履歴(バックアップ)
    • アップロードファイル履歴
    • ページ操作履歴
  • ページ一覧
    • このウィキの全ページ一覧
    • このウィキのタグ一覧
    • このウィキのタグ一覧(更新順)
    • このページの全コメント一覧
    • このウィキの全コメント一覧
    • おまかせページ移動
  • RSS
    • このwikiの更新情報RSS
    • このwikiの新着ページRSS
  • ヘルプ
    • ご利用ガイド
    • Wiki初心者向けガイド(基本操作)
    • このウィキの管理者に連絡
    • 運営会社に連絡する(不具合、障害など)
  • atwiki
  • math_sugaku @ ウィキ
  • オイラーの等式(中学卒業生でもわかるように)

math_sugaku @ ウィキ

オイラーの等式(中学卒業生でもわかるように)

最終更新:2025年09月28日 19:24

math_sugaku

- view
メンバー限定 登録/ログイン
ここでは中学校の範囲を学習済みであるとする。
目次
  • Σ
  • 場合の数
    • 階乗
    • 順列
    • 組み合わせ
    • 二項定理
  • ネイピア数(オイラー数)
    • 単利と複利
    • 年利100%
  • 三角関数
    • 三角関数の相互関係
    • 還元公式
    • 弧度法
    • 加法定理
  • 微分
  • 対数
    • 累乗の逆
    • logの性質
  • 超微分編
    • 微分-指数関数編
    • 微分-三角関数
    • sinの微分
    • cosの微分
  • 最終奥義【極・微分(マクローリン・展開)】
    • f(x)=g(x)+i(x)
    • f(x)=a・g(x)
    • (xn)'
    • マクローリン展開
  • 引用元

Σ

奇数列の1番目からn番目までの和を表現したいとき
1+3+5+⋯+(2n−1)
上のように書きますが、これは長ったらしいです。
そこで使われるのが、Σ記号です。
先ほどの式は
と簡潔にあらわされます。
Σの下にk=1とありますが、これは「2k-1にまず最初にk=1を代入する。」ということを意味しています。
その上のnは、「2k-1にk=1から順番に自然数を代入するが、k=nを計算したら終わる。」
という意味を表しています。

また、奇数列や何かの数列を意味する記号としてanが使われます。
これは、例えば「素数のn番目をanと表す。」や、「√2の小数第n位の数をanとする。」のように使われます。
これを使うと、
のような計算も可能になります。

場合の数

階乗

1からnまでの整数の積をn!と表します。つまり
例えば

順列

いくつかのものを一列に並べたものを順列といいます。
例として4人から2人選んで1列に並べる場合を考えます。
先頭に並ぶ人は4人のうちどれか一人なので4通りあり、その選び方それぞれに対して残りの3人の選び方の3通りあります。
これらは同時に起こらない(4人のABCDのうちAが先頭の時、BCDが同時に並んでABCのようになることはない)ので4×3=12通りあります。
先頭の決まり方     ×2番目の決まり方
同じように異なるn個からr個(1≦r≦n)とる順列の総数は
r個  
※スマホのほうではうまく表示されないかもしれません
と表され、これを
と定義します。
つまり、
特に
つまり
はnから数字を下げていってr個整数をかけることで計算できます。
また、



つまり、

順列の階乗表現で仮にr=nとすると
となるので、0!=1とするとr=nにも適用できます。
また先ほど述べたように、
であり、つまり
ですが、
であるため、0!=1と定義します。
また、r=0とすると
となるため
です。

組み合わせ

A,B,C,D,Eの5人から3人選ぶ選び方は何通りあるだろうか?
まず、選び方がx通りあるとします。
例えばA,B,Dが選ばれたとし、それを1列に並べると順列になり、その並べ方は3!通りです。
他のx通りの選び方に対しても3!通りあり、その合計は5P3通りになるので、
となります。
つまり
より10通りだとわかります。
同様に異なるn個からr個とる組合せの総数をxとすると、ある選び方に対しr!通りの並べ方があるので、
つまり
です。
また、この時xを
で表します。
よって
特にnC1=n,nCn=1
また、
を使うと
また、

二項定理

(a+b)4を展開公式を使わずに展開すると
(a+b)4
=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
=(aa+ab+ba+bb)(a+b)(a+b)
=(aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb)(a+b)
=aaaa+aaab+aaba+aabb
+abaa+abab+abba+abbb
+baaa+baab+baba+babb
+bbaa+bbab+bbba+bbbb
上の式で,例えばa2b2では、
aabb,abab,abba,baab,baba,bbaa
の6つありますが、これはaとbが入るスペース4つのうち2個選んでaとし、残り2個をbとする組み合わせと同じだとわかります。
つまり数式にすると
のようになります。
同様に考えると、(a+b)4の展開は以下のように書けます。
つまり、一般に

ネイピア数(オイラー数)

単利と複利

単利と複利を説明する。銀行などではお金を預けると、利子が返ってくるが単利と複利ではその利子の付き方が変わります。
  • 単利の場合
例えば、
10万円を年10%で貸した場合
1年後 → 10万円+1万円(利息)=11万円
2年後 → 11万円+1万円=12万円
3年後 → 12万円+1万円=13万円
というように単利では利息は元の10万円にだけつくので、毎年増えるお金の量は同じです。
  • 複利の場合
例えば、
1年後 → 10万円+1万円=11万円
2年後 → 11万円+1.1万円(10%)=12.1万円
3年後 → 12.1万円+1.21万円=13.31万円
というように利息を合わせた去年の金額の合計に利息がつく。例のように10万円を年利10%で預けている場合、1年後も2年後も[元金(最初に預けた金額)+これまでの利息]に利子がかかります。
例の場合を詳しくいうと、
1お金を預けた時
一年後には元の1+利子の0.1=1.1
2年後には1.1+1.1・0.1=1.1(1+0.1)=1.1・1.1=1.12
3年後には1.12+1.12・0.1=1.12(1+0.1)=1.12・1.1=1.13
・・・n年後には1.1nとなります。

年利100%

次に年利100%の複利について考えます。
あたり前ですが年利100%では1お金を預けると一年後には
1+1・100%=1+1=2
です。
ではこれを半年に50%ずつ増える、一年で合計100%になる場合を考えます。
一見すると、これは先ほどと何も変わっていないように思われますが、
半年で1+0.5(50%)=1.5
1年で1.5+1.5・0.5=1.5(1+0.5)=1.5・1.5=1.5^2=2.25
となります。
同様に分割回数を増やしてみます。
3分割:
※≈とは≒(ニアイコール)とおなじく「大体等しい。」「このくらい。」という意味があります。
4分割:

もうお気づきの方もおられるかもしれませんが、n分割したときの式は
になります。
ではこの公式を使って、さらに分割しましょう。
5分割:
6分割:
10分割:
一見すると増加しているように見えます。
しかし、分割回数を極端に大きくしてみると、
100分割:
200分割:
1000分割:
だんだんと 2.71・・・ に収束しているように見えます。
実際これは正しくて、グラフを書くとある値に収束していくのがわかります。

この収束する値こそが e ことオイラー数(ネイピア数とも言う)なのです。
これを数式に書くとき
としてしまうと、数学において無限とはとてもあいまいな数字であり、例えば
です。
なので、先ほどの式だと
というあり得ない式が成立してしまいます。
そこで数学者はこのような誤解を防ぐために、「だんだん大きくする」ことで、「極限まで数を大きくしたとき」どのような値になるかを推測するという概念を作り出しました。
これこそが
の意味です。(※この場合、hを極限まで無限大に近づけていく、という意味です。)
これを使うと
となります。

三角関数

sinとcosの定義から話を進める。
まず、円の中心をOとし、半径が1の円上に点Pを取る。
そしたらx軸と線分OPの作る角をθと定義する。
その時の点Pの座標をP(cosθ,sinθ)とするのだ。
は無視してください。)
つまり、
sinθ=Pのx座標
cosθ=Pのy座標
である。
この時、線分OPの傾きをtanθとするのだ。
ちなみにOPは、Oからx座標にcosθ,y座標にsinθ進んでいるので傾きは
と表せる。
よって
であるとわかる。ただしθ=90°の時
となるためtan90°は定義不可能である。
また、

このように0≤θ<90°の時Pの座標をP(Px,Py)とすると、


であると定義できる。
また、
であるとわかる。
つまり、

(ただし0°≤θ<90°)となる直角三角形ABCにおいて


という定義の仕方もできるのだ。

三角関数の相互関係


この図から三平方の定理を用いると、
であるとわかる。また、これをsin2θで割ると、
になる。

還元公式


上のような図では、y座標を線対称の軸として、線対称になっているのがわかる。
ここから、
であるとわかる。
しかし、同時に
でもあるので
であるとわかるのだ。

(y=xは無視してください。)
上の図から、Qについてみると
だとわかる。


また、このようにグラフを回転させてみると、回転されているためxとy座標の位置関係が普通のグラフと逆であり、Qについて
であるとわかる。つまり、
である。

上の図から
とすると、
という風に反転していることがわかる。また、同時に
であるともわかる。つまり
である。

弧度法


Oを中心として回転する半直線OPを動径といい、位置がOXの時、半直線OXを始線といいます。
反時計回りの回転を正の向き、時計回りの回転を負の向きといい、負の向き及び1回転以上の角度も含めたものを一般角といいます。
一般角では、複数の角度が対応します。

このように、上の図から60°と-300°は同じであることがわかります。
420°や-660°も同じであり、上の図の動径OPが表す角は、
ただし(nは自然数)
という風にまとめて表現できます。
今までの30°のような表し方を度数法といいます。
角度にはこのほかにラジアンという表し方があります。ラジアンさんはここから来たんですね。
ラジアンの定義はこうです。
半径が1の扇形の、孤の長さがθのときの中心角をθ[rad]と定義する。

※[rad]はラジアン[radian]という単位の省略形です。
例えば半径1で90°ならば、扇形の孤の長さは
なので、
であるとわかります。

同様に、以下のようになります
度数法(°)       30 45 60 90 180 360
弧度法([rad])
    
    
    
    
    
    
また、
より
です。
ちなみに一般角と同じく弧度法では負の角度や1回転以上の角度も適用します。
また、扇形の半径をr、中心角をa°としたとき面積は、
となりますが、弧度法を用いると、
であるため、中心角をx[rad]としたとき
と求められます。
同様に弧の長さも
となります。

加法定理

単位円周上にP(1,0),Q(cos(α+β),sin(α+β))をとる。

この時、PQ2は三平方の定理を用いて
である。
このP,Qを原点を中心に−α回転した点をそれぞれP'(cos(−α),sin(−α)),Q'(cosβ,sinβ)とする。

この時、先ほど同様にP'Q'2は三平方の定理を用いて
これは、PQを回転させただけなのでP'Q'=PQである。
つまりPQ2=P'Q'2である。よって
である。
これのβに-βを代入すると、
さらにこの式のαにπ/2-α[rad]を代入すると
※π/2[rad]=90°で、どちらで計算してもよい
そしてβに-βを代入すると、

微分

まずは、どうすれば関数のグラフの接線を引けるのだろう?

まず仮に上の図のy=f(x)上の点aで接線を引きたいとします。
そこで、接線の傾きを出してみようと思います。

いったん上の図のように点aと点a+hの2点間の傾きを調べてみます。
そうすれば、yの増加量はf(a+h)-f(a)、xの増加量は(a+h)-a=hであるとわかるので、
が傾きだとわかります。
これはx=aからa+hまでの平均変化率ともいいます。

そして、点a+hを上の図でどんどん点aに近づけていくと、a+h≒aとなり、h≒0となれば、この線は接線に近づくはずです。
そうしてでたx=aでの傾きはf'(a)または(f(a))'で表されます。
つまり、接線の傾きは
の中のhを0に近づけた値です。これをx=aでの微分係数といいます。
しかし、
※aは定数
という風に表してしまうと、0で割り算をすることになり、定義不可能になったり、
f(a+0)をf(a)として計算してしまうことも起きてしまいます。
それを防ぐために、「hをめちゃくちゃ(極限まで)0に近づけていった時の、計算の値の変化(ある値への収束)の仕方を見る」という意味で
を使って
と表します。
具体例としてy=x2でのx=3での微分を行います。

上の図で、点(3,9)と点(3+h,(3+h)2)の平均変化率は


となるが、hを極限まで0近づけると
となり、x=3での微分係数は3であるとわかりました。
また、今回は3という具体例で計算しましたが、
変数xを使って接線の傾きの関数を求めたい場合はaにxを代入します。
ちなみにこれは導関数といいます。
また、f(x)をk回微分したものは
     k個
や、
と表されます。
例えば
とし、これの導関数を求めると




となることがわかります。
さらに、導関数を求めることは微分といいます。
接線の傾きがわかれば、その時点でどのくらいグラフの増減に勢いがあるのかを調べることができるのでグラフの形を知る上で非常に重要です.
つまり微分をすることで多くの関数のグラフを書くことが出来ます。

対数

累乗の逆

23=8は、当然のことですよね。
では、「8は2を何回掛けたものか」を表す数式はどのようなものでしょう。
それこそ、
なのです。
また、8は2を3回かけたものですので
になります。
ほかにも、16は2を4回かけた数であり、先ほどのようにあらわすと、
となります。
そしてある数bに対して
を計算することを、「bの対数をとる。」また、この時aを対数の底といいます。
ちなみに
は
と表すこともあります。
そしてある数aのln aを求めることを、「自然対数をとる。」といいます。
lnの読み方は「ロン」です。

logの性質

ここで、logに関する面白い性質を紹介します。
まず、
と定義します。
この時b=acを
に代入すると、指数法則より
になります。
をこれに代入すると、
となります。つまり
は指数がおりてきて
となります。

超微分編

微分-指数関数編

今回は(ax)'を計算します。
まず、微分の公式に当てはめて
ここで
とします。
つまり
です。
この時
ですので
です。
よって
となり、これを式変形すると、
そして自然対数をとると、(のちの都合で対数ではなく自然対数とします。)
また、対数の性質
より
という風に、hもtで表せるようになりました。
よって
になります。分母分子にln aをかけると
です。
ここで、eが出てきます。
eの定義を思い出すと
ですが、

ですので、
とも書けます。
両辺の自然対数をとると、
ここで再度
を使うと
となり、結論として
が得られます。
そうすると、
となりますが、
であるため、
になります。
つまり、



です。

微分-三角関数

三角関数の極限

x>0かつx[rad]の時下の三角形の体積の関係は

こうなります。
この時それぞれの体積は


ですが、
よりsinxで割ると
また、
の時逆数の大小は
のように入れ替わるため
の逆数は
のようになります。
この時

からcos0=1であり、
ですから、
において
とすると、
imageプラグインエラー : 画像URLまたは画像ファイル名を指定してください。
(http://latex.codecogs.com/png.latex?\lim_{h\to+0}cosh\to1<\frac{sinh}{h}<1
となり
になります。
※h→+0とは、hを正の方向から0に近づけるということを意味します。(h=1,0.1,0.01,0.0001,0.000001・・・のように)
※逆にh→-0とはhを負の方向から0に近づけることを意味します。(h=-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001・・・のように)
※h→0はhを正と負どちらの方向からでも近づけてけいさんすることをいみします。(h→±0と書いてもよい)
次に
を計算します。t=-sとすると、


より、


よって同様に
となります。
以上から
になります。

sinの微分

(sinx)'を計算していきます。
微分の公式から
より





ここで
より、
なので


さらに
より


また、

より、
であるため

よって
また、

cosの微分

次に(cos)'を計算する。
微分の公式から
ここで
より、



そして
より


さらに
より


よって

最終奥義【極・微分(マクローリン・展開)】

f(x)=g(x)+i(x)

f(x)=g(x)+i(x)の時のf'(x)を計算する
このように、関数を微分するときは、複数に分解してそれぞれを微分したものを足してもよい。

f(x)=a・g(x)

f(x)=a・g(x)として微分する



つまり、

(xn)'

(xn)'を微分する。
ここで
より





hは0になるので



つまり
さらにnxn-1を微分すると、
より
同様に
つまり

マクローリン展開

マクローリン展開

という風に無限に微分ができる関数があるとします。
この時、当然ですが、f(0)=a1です。
また、
より
ともかけます。
さらに
であることから
であり、
同様に
であるため、f(x)は


という風に書けます。
ただしf(x)は無限に微分可能

eの展開

f(x)=exとすると、(ex)'=exより
なので




また、x=1を代入すると
というように、eは、階上の逆数の総和だったことがわかります。

sinの展開

(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(-sinx)'=-cosx
(-cosx)'=sinx
より、sinは無限に微分できることがわかります。
よって
となります。
この時sinxをn回微分したとき、(sinx,cosx,-sinx,-cosx)のどれかになることがわかります。
表にすると
n 回 微 分
sinx 0 4 8 …
cosx 1 5 9 …
-sinx 2 6 10 …
-cosx 3 7 11 …
しかし、sin0=-sin0=0となるため、cosxと-cosxについてみます。
n 回 微 分
cosx 1 5 9 …
-cosx 3 7 11 …
さらにcos0=1,-cos0=-1ですので、
自然数k 0 1 2 3 4 5 … k
n回微分 1 3 5 7 9 11 … 2k+1
f(k)(0)計算結果 +1 -1 +1 -1 +1 -1 … (-1)k
つまり、
になります。

cosの展開

(cosx)'=-sinx
(-sinx)'=-cosx
(-cosx)'=sinx
(sinx)'=cosx
よりcosxもsinx同様に無限に微分可能であることがわかります。
表にすると
n 回 微 分
cosx 0 4 8 …
-sinx 1 5 9 …
-cosx 2 6 10 …
sinx 3 7 11 …
しかし、sinxの時同様sin0=-sin0=0となるため、cosxと-cosxについてみます。
n 回 微 分
cosx 0 4 8 …
-cosx 2 6 10 …
さらにcos0=1,-cos0=-1ですので、
自然数k 0 1 2 3 4 5 … k
n回微分 2 4 6 8 10 12 … 2k
f(k)(0)計算結果 +1 -1 +1 -1 +1 -1 … (-1)k
つまり、
です。

オイラーの等式

ここで重要な3つのパーツがそろいました。


です。
これらは似ていますが、どうも組み合わせれそうないです。
そこで、レオンハルト・オイラーという数学者はある数に注目しました。
それこそ、
なのです。
i1=i
i2=-1
i3=-i
i4=1
となりますが、これを
に組み込むんです。
そうすると






ここでsinとcosの展開を思い出しましょう。






でしたね。
もうお気づきかもしれませんが、そうなんです。
さっきの式にこれらがぴったりとはまるんです。
つまり、


になるんです!!
そしてそして、x=π[rad]を代入すると、

という有名なあの式が出てくるんです。

引用元

  • おいしい数学
https://hiraocafe.com/note/note.html
「オイラーの等式(中学卒業生でもわかるように)」をウィキ内検索
LINE
シェア
Tweet
添付ファイル
  • aa.png
  • additiontheorem1.png
  • additiontheorem2.png
  • introduction_of_differential1.png
  • introduction_of_differential2.png
  • introduction_of_differential3.png
  • introduction_of_differential4.png
  • limit_sine_over_x.png
  • permutation.png
  • radian1.png
  • radian2.png
  • radian3.png
  • radian4.png
  • reduction-formula-1.png
  • reduction-formula-2.png
  • reduction-formula-4.png
  • sigmaformula.png
  • trigonometric-function-01.png
  • trigonometric-function-02.png
  • trigonometric-function-03.png
  • グラフ1.png
  • グラフ2.png
  • グラフ3.png
math_sugaku @ ウィキ
記事メニュー

メニュー

  • トップページ
  • メニュー
  • 右メニュー

オンライン -
今日の来場者数 -           昨日 -
累計来場者数 -


主なコンテンツ

  • 雑談・質問
+ 問題系
  • 問題作成
  • 問題一覧
- 問題番号一覧
問題番号一覧
+ このページについて
このページは問題作成で作成した問題をまとめるところです。
問題一覧で問題を載せてからここに追加するようにしてください。
ここに載せるときは以下のテンプレートに沿って載せてください。
&link_anchor(問題[[ここに問題番号]],page=問題一覧){問題[[ここに問題番号]]}
問題① 問題② 問題③ 問題④ 問題⑤
念のため5つほど追加しておきます。
- 高校数学一覧
高校数学一覧
+ 概要
このコンテンツは主に
  • おいしい数学
https://hiraocafe.com/note/note.html
を参考にして作成しています

数I

+ 数と式
数と式
  • 展開と因数分解
  • 対称式と基本対称式
  • 絶対値と√A²の外し方
  • 2重根号の外し方
  • 絶対値を含む方程式・不等式(1次式)
  • 集合論
  • 必要条件・十分条件の問題の解き方
  • 命題の逆・裏・対偶
  • 背理法
+ 2次関数
2次関数
  • グラフの平行移動
  • 2次関数のグラフの書き方
  • 関数の対称移動
  • 2次関数の最大最小(グラフ変動・定義域固定)
  • 2次関数の決定
  • 判別式
  • 放物線と直線の共有点
  • 2次不等式
  • 2次方程式の解の配置問題(基本)
  • 2次方程式の解の配置問題(応用)
  • 2つの2次関数の大小関係
+ 三角比
三角比
  • 三角関数の定義
  • 三角関数の相互関係
  • 三角関数の還元公式
  • 三角方程式
  • 三角不等式
  • 正弦定理
  • 余弦定理
  • 3辺既知の三角形の面積の求め方
+ データの分析
データの分析
  • データの代表値
  • 五数要約と箱ひげ図
  • 分散と標準偏差
  • 変量の変換をした平均と分散
  • 共分散と相関係数
  • オイラーの等式(中学卒業生でもわかるように)
  • 編集雑談部屋
  • 編集練習部屋
ここを編集
記事メニュー2

更新履歴

取得中です。


ここを編集
人気記事ランキング
  1. 高校数学一覧
  2. 2次関数の最大最小(グラフ変動・定義域固定)
  3. 2次関数のグラフの書き方
  4. グラフの平行移動
  5. 関数の対称移動
  6. 集合論
  7. 数I
  8. 背理法
  9. 編集練習部屋
  10. コメント/雑談・質問
もっと見る
最近更新されたページ
  • 12時間前

    2次関数の最大最小(グラフ変動・定義域固定)
  • 17時間前

    関数の対称移動
  • 19時間前

    数I
  • 19時間前

    高校数学一覧
  • 19時間前

    トップページ
  • 19時間前

    2次関数のグラフの書き方
  • 20時間前

    グラフの平行移動
  • 21時間前

    編集練習部屋
  • 1日前

    集合論
  • 1日前

    背理法
もっと見る
人気タグ「高校数学」関連ページ
  • トップページ
  • 高校数学一覧
もっと見る
人気記事ランキング
  1. 高校数学一覧
  2. 2次関数の最大最小(グラフ変動・定義域固定)
  3. 2次関数のグラフの書き方
  4. グラフの平行移動
  5. 関数の対称移動
  6. 集合論
  7. 数I
  8. 背理法
  9. 編集練習部屋
  10. コメント/雑談・質問
もっと見る
最近更新されたページ
  • 12時間前

    2次関数の最大最小(グラフ変動・定義域固定)
  • 17時間前

    関数の対称移動
  • 19時間前

    数I
  • 19時間前

    高校数学一覧
  • 19時間前

    トップページ
  • 19時間前

    2次関数のグラフの書き方
  • 20時間前

    グラフの平行移動
  • 21時間前

    編集練習部屋
  • 1日前

    集合論
  • 1日前

    背理法
もっと見る
ウィキ募集バナー
急上昇Wikiランキング

急上昇中のWikiランキングです。今注目を集めている話題をチェックしてみよう!

  1. MADTOWNGTAまとめwiki
  2. 20XX @ ウィキ
  3. 戦隊・ライダー:怪人まとめ@ ウィキ
  4. 機動戦士ガンダム バトルオペレーション2攻略Wiki 3rd Season
  5. SDガンダム Gジェネレーションオーバーワールド 攻略Wiki
  6. NIKKEぺでぃあ
  7. オペラ対訳プロジェクト
  8. 役割論理専用wiki 
  9. とある魔術の禁書目録 Index
  10. 正田崇作品 @ ウィキ
もっと見る
人気Wikiランキング

atwikiでよく見られているWikiのランキングです。新しい情報を発見してみよう!

  1. アニヲタWiki(仮)
  2. ストグラ まとめ @ウィキ
  3. ゲームカタログ@Wiki ~名作からクソゲーまで~
  4. 初音ミク Wiki
  5. 機動戦士ガンダム バトルオペレーション2攻略Wiki 3rd Season
  6. 発車メロディーwiki
  7. オレカバトル アプリ版 @ ウィキ
  8. 検索してはいけない言葉 @ ウィキ
  9. モンスター烈伝オレカバトル2@wiki
  10. Grand Theft Auto V(グランドセフトオート5)GTA5 & GTAオンライン 情報・攻略wiki
もっと見る
新規Wikiランキング

最近作成されたWikiのアクセスランキングです。見るだけでなく加筆してみよう!

  1. MadTown GTA (Beta) まとめウィキ
  2. まどドラ攻略wiki
  3. ちいぽけ攻略
  4. シュガードール情報まとめウィキ
  5. SurrounDead 攻略 (非公式wiki)
  6. 20XX @ ウィキ
  7. 戦国ダイナスティ攻略@ウィキ
  8. ソニックレーシング クロスワールド @ ウィキ
  9. Shoboid RPまとめwiki
  10. シミュグラ2Wiki(Simulation Of Grand2)GTARP
もっと見る
全体ページランキング

最近アクセスの多かったページランキングです。話題のページを見に行こう!

  1. 参加者一覧 - MadTown GTA (Beta) まとめウィキ
  2. やなせたかし - アニヲタWiki(仮)
  3. 魔獣トゲイラ - バトルロイヤルR+α ファンフィクション(二次創作など)総合wiki
  4. 参加者一覧 - MADTOWNGTAまとめwiki
  5. 参加者一覧 - ストグラ まとめ @ウィキ
  6. スーパーロボット大戦Y - アニヲタWiki(仮)
  7. 鬼レンチャン(レベル順) - 鬼レンチャンWiki
  8. 模擬ドラフト結果 - おんJ模擬ドラフトまとめwiki
  9. 機体一覧 - 機動戦士ガンダム EXTREME VS.2 INFINITEBOOST wiki
  10. 駆動方式(自動車) - アニヲタWiki(仮)
もっと見る

  • このWikiのTOPへ
  • 全ページ一覧
  • アットウィキTOP
  • 利用規約
  • プライバシーポリシー

2019 AtWiki, Inc.