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math_sugaku @ ウィキ

2重根号の外し方

最終更新：2025年09月30日 18:44

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2重根号

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b$

であるため、

$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=|\sqrt{a}+\sqrt{b}|$

のように特定の場合計算できます。
ちなみに根号の中に根号があるものを2重根号といいます。
例えば、

上の図で?の長さは三平方を用いれば

$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2+1}$

$=\sqrt{4+4\sqrt{3}+3+1}$

$=\sqrt{8+4\sqrt{3}$

$=\sqrt{8+2\sqrt{12}$

$=\sqrt{(6+2)+2\sqrt{6\cdot2}$

$=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}$

$=|\sqrt{6}+\sqrt{2}|$

$=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

であるとわかります。
また、

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b$

より、

$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$

だとわかります。

$a>0,b>0$

の時

$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$a>b>0$

の時

$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

練習問題

$(1)\sqrt{8+2\sqrt{12}}$

+

...

$(2)\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

+

...

$(3)\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

+

...

$(4)\sqrt{4+\sqrt{15}}$

+

...

$(5)A(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),B({-}\sqrt{2},0)$

という点A,Bの距離を求めよ。

+

...

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