集合論 - math_sugaku @ ウィキ【10/2更新】

集合

数学では、奇数列や素数列などの、「数列」といったものや、「チンパンジー、ゴリラ、オランウータン」などの分類されたある集まりについて扱うことがあります。
例えば、奇数列

• 1,3,5,7,9,・・・

などがありますが、これを数学では

と{}で囲って表します。
また、動物の集合は

• {チンパンジー、ライオン、キリン、ゾウ、ニンゲン、・・・}

と表します。
しかし、世の中には「何もない」も集合としてカウントします。
つまり

という集合もあるわけです。
これは∅(空集合)といいます。
また、「Aを偶数列とする」と、Aには「2」や「4」が含まれます。
これを数学では

という風に表します。
また、「2と4は、Aの要素である」とも言います。
また、Aには「１」や「５」は含まれません。
これを先ほどのようにあらわすと

といった具合に表します。
そして先ほど同様「1と5は、Aの要素でない」といいます。
集合の定義の仕方は「Aを偶数列とする」以外にもあって、

という表し方もあります。
また、数学には特定の集合を以下のようにあらわします。

• 自然数

• 整数

• 有理数

• 実数

• 複素数

余談

ちなみに四元数は、八元数は、十六元数はらしい。

これより∅(空集合)は

と表されます。
これを使うと、偶数列Aは

というようにあらわせます。
また、B={サルの集合}とすると、「B∉ライオン」というのもわかりますね。
このようにB={サルの集合},C={動物の集合}とすると、サルはすべて動物ですから、図にすると、

このようになります。
ちなみに上の図はベン図といいます。
そして数学では集合も含めた全体の集合(上のベン図で言うと生物すべての集合)は基本的にUで表され、全体集合といいます。

集合の重なり

では次に、

• U={1～20}
• A={2の倍数}
• B={3の倍数}

とすると、

となりますが、これらの集合は

という要素が重なっています。
この重なっている部分を数学では

と表します。
つまり今回だと

です。
このように、AとBの重なったところを「AかつB」といいます。
また、AとBを合体させた集合

を

で表します。
ちなみにこれは「AまたはB」です。
そして先ほど同様

です。
しかしここで、

• C={7の倍数}とすると、

ですが、この時のBかつCは

であるため、

つまり空集合になります。

部分集合

この図で、Bのすべての要素をCは含みます。(サルは動物であるため。)
なので、あいまいで不適切な表現ですが、「集合Bは集合Cの要素である」という風に解釈できます。
しかし、数学ではこれを「集合Bは集合Cの部分要素」と表現します。
つまり、「集合Cの一部分が集まった集合」みたいな意味です。
そしてこれは

という風に表します。
ちなみにこの時

(BかつCはB)

(BまたはCはC)
です。

補集合

数学には

• A=偶数の集合

としたとき、

となる集合Bが存在します。
これを

(Aバー)
と表します。
今回の場合

• A=奇数の集合

ですね。

で言うと、

はキリンやゾウ、リンゴなどサルでない生物を要素に持ちますね。
また、発展として

はサルでない動物の集合を表しています。
そして、

や、

という性質があります。
そしてさらに

です。

ド・モルガンの法則

めんどいので

です。
代わりに証明やりたい人がいたら書いてください。
今僕は「花粉症か風邪」なので、だるいのでもっとだるいことはしたくないからです

要素の個数

Aの要素の個数がx個あるとき、

という風に表します。