ポアンカレの補題の逆（仮）
dω=0をみたすωの集合・・・・closed diffrential form
あるηが存在してω=dηとかけるωの集合・・・exact diffrential form
あるηが存在してω=dηとかけるωの集合・・・exact diffrential form
ddω=0よりωがexact formなら自動的にclose formになるが（ポアンカレの補題）、この逆について
次の定理が成り立つ
次の定理が成り立つ
(定理) 
上の開集合Uが任意の点
に可縮(deformable)ならばclose formはexact formとなる。
すなわち、dω=0ならば、あるηが存在してω=dηとかける。
すなわち、dω=0ならば、あるηが存在してω=dηとかける。
※
に可縮とは
任意の
に対して
F(x,1)=x
F(x,0)=
を満たすFが存在することをいう（図がーーーー！！！）
(F:U×[0.1]→U)
任意の
F(x,1)=x
F(x,0)=
を満たすFが存在することをいう（図がーーーー！！！）
(F:U×[0.1]→U)
例）
- R^{3}は可縮
に書いてある（R^3-{(0.0)}）だと直感通り可縮って書いてありますね。
課題
可縮じゃない空間の例を探すこと。
可縮じゃない空間の例を探すこと。
- 最近、書き込んでなくてすいません（汗
chap 3.6 はけっこう難しいです。
課題の可縮に関してですが、関数 F(x,t) に何か条件がつくのかどうか調べきっていません。
変数変換で滑らかまで要求するのか、不連続はさすがにまずいかとか。 -- taka (2011-05-26 20:33:48) - 僕もサボっててすいません orz
この定義、手元の本（理論物理学のための幾何学と〜）の同じ項目のところ
から取ったのですけど、コレだと"p_0から勝手な点xに投げたロープを引っ張ってp_0に回収できる”というイメージになって、
例えば、２次元平面で原点をくりぬいた空間も可縮になってしまうような気がするのですけど（理解が足りないのかなぁ・・・）。
任意の”輪っか"（３次元だったら"曲面"）が一点に縮められるという定義だったら納得なのですが。
ちなみに、別の本では、球面上の北半球全体は可縮だけど、北極の周辺をくりぬいた空間は可縮じゃない。
という例はありました。
-- satoshi (2011-05-27 18:21:12) - ＞関数 F(x,t) に何か条件がつく
(F:U×[0.1]→U)
で、sを止めたときには 開集合から開集合の写像で、とりあえず連続である事は言えますよね。
＞変数変換で滑らかまで要求するのか
この辺、数学の人向けの本を読んだほうがいいのかなぁ・・とか思ったり。
難しいですけどまったりがんばりましょー -- satoshi (2011-05-27 23:12:51) - たくさんの資料ありがとうです。
＞２次元平面で原点をくりぬいた空間
＞北極の周辺をくりぬいた空間
[0,1] の途中でドーナツを切り開くようにしてしまうと連続写像にならなくなるのだろうか？
それで証明のどこかが成り立たなくなるのだろうか？
何となく、「可縮」は「単連結」に近いかなと思いましたが、
可縮 ⇒ 単連結 は言えるようです。
＞http://en.wikipedia.org/wiki/Contractible_space
＞ Every contractible space is path connected and simply connected. -- taka (2011-05-28 20:53:37) - ＞[0,1] の途中でドーナツを切り開くようにしてしまうと
も、球面の勝手な２点と変らないかと。
僕も、この条件は単連結（輪っかを縮められる）方がしっくりきます。
が、この章の定義はdeformableなんですよねぇ。
中原さんの４章と併読したほうがいーのかな？
いずれにしても、いつかはこの辺の用語（連結、単連結、弧状連結、可縮・・・）とそれらの関係は知っておいたほうがいいと思うので。
-- satoshi (2011-05-29 03:07:35)
