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（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap2.2

最終更新：

satoshi

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だれでも歓迎！ 編集
n=2として書きます。

2-fromに対する自分自身への線形変換f_Aは
f_{A}(\alpha_{1}\wedge\alpha_{2})=A\alpha_{1}　\wedge A\alpha_{2}　　　(1)　　☆
なので（"∧"に関しても"+"に関しても線形なので定義ではなかったです。a+b=b+aではなくa∧b=-b∧aなので何か違和感がムンムン）


これはもちろん2-formで展開できて、係数をとりあえず|A|とおき、これを線形写像Aの行列式の定義とします。
A\alpha_{1}\wedge A\alpha_{2}=|A|\alpha_{1}\wedge\alpha_{2}　　　(2)

一般のベクトルは数ベクトルと同型で、線形写像は行列で表現できる定理から
A\sigma^{i}=a^{i}_{j}\sigma^{j}　　　(3)
と書けて（よく考えたらこの展開は自明でした。補足）

chap2.2の最後の式から|A|とa_ijが一致する事がわかる。

要約
ウエッジ積が定義されたベクトルに対して線形写像を上のように定義すると、
反対称性が上手く効いて自然に行列式がでてくる。

☆
例えば普通の外積でAをz軸まわりにπ/2回転する行列とすると
A(e_{1} \times e_{2}) = Ae_{1} \times Ae_{2} ＊
が成り立つが(x,y軸回りでも成り立つ）
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1\end{array}\right)
とすると成り立たない。A^{t}A=Eだったら成り立ちそうだけど示せるかなー・・・って考えてみたけどダメでした＼(^o^)／

＊
  • 左辺は外積をとってから A の基底で見る
  • 右辺は A の基底で見てから外積をとる
ということですね。A が直交行列なら成り立ちますね。
（A が鏡像反転する場合はだめだった。正確には |A|=1 の直交行列なら成り立ちますね。）
特殊相対論の空間ならローレンツ変換の行列で成り立つのかなあ？



  • 細かいですが、2-form に対する線形変換は A でなく f_A では？ -- taka (2011-05-05 15:11:06)
  • ですね、直しました -- satoshi (2011-05-05 20:09:02)
  • f_A は線形の他に、反対称という条件があります。 -- taka (2011-05-06 23:51:00)
  • でも「線形かつ反対称」から (1) の右辺が導かれるかどうかは考え中… -- taka (2011-05-06 23:51:49)
  • 線形代数の本に書いてある線形写像の定義を見直したら作用する空間がベクトル空間である事が前提でした。確かに反対称だと定義と合わないですね。 -- satoshi (2011-05-07 00:43:38)
  • 直積空間に対する線形変換を考えているのだと思います。v1 = α1 α1, v2 = α1 α2, v3 = α2 α1, v4 = α2 α2, の４つのベクトルの間の線形変換。その上で、反対称性を入れると４つが１つに縮むのではないでしょうか？ -- taka (2011-05-08 18:59:40)
  • >特殊相対論の空間ならローレンツ変換の行列で成り立つのかなあ？ そもそも、高次元に対する外積を定義するのがこの理論かと（普通の外積は３次元限定！）！ -- satoshi (2011-05-09 03:18:36)
  • >det(A)=+1 の直交行列なら成り立つ　　　リトライしてみたけどやっぱり詰まったorz　回転の定義がAが直交行列なのとdet(A)=1だから回転行列だと成り立つのかな？

  • そですね。回転行列と同義です。角度の関係と長さを保存するので。 -- taka (2011-05-14 19:49:26)
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