chap3.7＆3.8 - （輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap3.7＆3.8（仮）

2-form

に対して

↑　と"対応がつく"（3-formなのでスカラー）

1-form

について

を計算するとrotと"対応がつく"

つまり
⇔ 　αは1-form
⇔　 βは2-form
の「対応が付けられる」

（オマケ）ベクトルポテンシャルの存在
Maxwell方程式の一つ

はβを2-formとして
dβ=0
と書ける。
は可縮なので、ポアンカレの補題の逆から
ある(1-form)αが存在して、
β=dαとかける。つまり
あるベクトルが存在して

と書ける。
前々から気になっていたので書いてみましたｗ

• Maxwell方程式は微分形式を学んで分かりやすくなったのでうれしいです。
  ところで宇宙空間全体は可縮なのかな…可縮じゃないとすると方程式が成り立たない点がどこかにあるのかな…などと空想してしまった -- taka (2011-05-29 16:51:36)
• 面白い空想っすねｗ
  例えば、シュバルツシルトの計量でr=0の点は定義されないからその事を
  どう理解するのか、とか。（例えばM-{r=0になる点}とかｗ）
  宇宙ヤバい！ -- satoshi (2011-05-29 20:14:04)
• ブラックホールの中心を取り除くとして、
  先の章をチラ見したら、E^3 - {0} が deformable じゃなさそうなことが p.66下～p.67上に書いてある！
  単連結（1-connected）ではあるけれど 2-connected ではないということなのでしょうか…？
  わから～んｗ ＞ homotopy group -- taka (2011-05-30 19:47:23)
• ＞E^3 - {0} が deformableじゃない
  
  
  E^3から原点を取り除いても、任意の２点を繋ぐ前章のF(x,p_0)（ホモトピーという）はつくれますよね？
  可縮空間の定義は、道具が輪っかでも膜でもなくて”真っ直ぐなロープ”なわけですから。
  -- satoshi (2011-05-31 01:39:47)
• で、この辺しっかり理解するにはホモトピーの知識が必要っぽいのでちょっと寄り道して、２０ページくらいの解説(トポロジー・圏論・微分幾何って本のホモトピーの章です）を読んでますｗ
  スキャンして送りますか？ -- satoshi (2011-05-31 01:41:34)
• U = E^3 の場合は膜をしぼるようにして体積を縮めるのではないでしょうか？
  スキャン送信はやめておきましょう。一応公開の場なので…（神経質すぎるかな？（汗
  大部ですが Hatcher『Algebraic Topology』はどうでしょう？
  ＞ http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html -- taka (2011-05-31 17:50:29)
• ＞U = E^3 の場合は膜をしぼるようにして体積を縮める
  
  
  手元の本で（E^3の中の）２次元ホモトピー群の所を見たら、袋が１点に縮むイメージみたいですね。
  
  
  ＞Hatcher『Algebraic Topology』
  
  
  ホモトピー、ホモロジー、コホモロジーのガチ数学の本ですね。時期を見てトライしてみたいと思うけど、どーしましょう。並行でできるかな？
  http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/textbooks.html
  
  
  Flandarsは物理の応用がありますし、とりあえず続けましょう（多様体の所まではやりたいです）。ちょっとテンポあげます。
  -- satoshi (2011-06-01 05:52:53)
• E^2 の場合は１次元ホモトピーで輪っかが縮む、
  E^3 の場合は２次元ホモトピーで袋が縮むだとすると
  E^n の場合も何となく想像がつきますね。
  Flanders を進めるに当っての「可縮」についてはだいたいつかめたと言えるのではないでしょうか？
  
  
  Hatcher に関しては私も時期を見てトライしてみたい。次に読む本の候補の１つとしてどうですか？
  絵を描くのがまた難しそうだけれどもｗ -- taka (2011-06-01 08:07:39)