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（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap4.4

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直交座標系とラプラシアン


\mathbf{E}^3 上の 1-form を、
固定された直交座標 \mathbf{i} および moving frame \mathbf{e} (どちらも規格直交) により
d \mathbf{x} = \mathbf{\sigma} \mathbf{e} = (dx, dy, dz) \mathbf{i}
と書きます。
どちらも規格直交であることより、ラプラシアンは
d * d f = (\Delta f) dx dy dz = (\Delta f) \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3
と d を dx,dy,dz 上で行っても、\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 上で行っても同じように書けます。

極座標を
x = r \sin\theta \cos\phi
y = r \sin\theta \sin\phi
z = r \cos\theta
とします（テキストの\phiと\thetaは入れ替えました）。
\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial r}, \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \theta}, \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \phi}
の３つのベクトルは計算してみると直交します（ (r,\theta,\phi) が直交座標系 ）。
これを規格化してやったものを moving frame にとります：
\mathbf{e}_1 = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial r}, \quad \mathbf{e}_2 = \frac{1}{r} \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \theta}, \quad \mathbf{e}_3 = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \phi}
すると
\sigma_1 = dr, \sigma_2 = r d\theta, \sigma_3 = r \sin\theta d\phi
となります。これを使って (r,\theta,\phi) 表示したラプラシアンを求めると
\Delta f = \frac{1}{r^2\sin\theta} \left[ \dots \right]
となります（改行せずにこの式を書くのつらかった。ごめん m(_ _)m）。
(ラプラシアンの極座標表示の中にrや\sin\thetaが現れる理由がはっきりしました)

  • dは座標変換と無関係な演算だけど、ホッジ変換はどうなんだろう？
    -- さとし (2011-06-16 22:42:19)
  • そうですね。右手系とか、ユークリッドの内積とかの仮定もないと
    符号が反転してしまうかもですね。 -- taka (2011-06-17 18:20:40)
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