（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap5.7

最終更新：2011年07月20日 00:23

satoshi

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Integration of Forms

多様体 $\mathbf{M}$ 上の $p$ 形式 $\omega$ の、 $p$ -chain $\mathbf{c}$ にわたる積分は
$\int_\mathbf{c} \omega = \sum a_i \int_{\mathbf{\sigma}_i} \omega$
とchainを構成する各 $p$ 単体にわたる和で定義する。
それぞれの $p$ 単体での積分は
$\phi : U \rightarrow \mathbf{M}$
$\phi : \Bar{s}^p \rightarrow \sigma$
なる写像で標準 $p$ 単体 $\Bar{s}^p$ に引き戻して
$\int_\mathbf{\sigma} \omega = \int_{\Bar{s}^p} \phi^* \omega$
により計算する。

実際にはこのような定義に戻って計算する例はあまりない（？）とかなんとか

標準 p 単体に引き戻すのは何でですかね？
標準じゃないといけない理由が良く分からなかったりする -- taka (2011-07-18 18:38:42)
こんばんわ。
例えば、R^2の中の曲線（２次元多様体中の1単体）を線積分するときに積分の中身が
a(t)dx+b(t)dy=c(t)dt と変数変換しますよね。
取り扱いにくい曲線→扱いやすい[0,1]に”引き戻す”
みたいな。
どんな空間にあっても計算（議論）しやすいように標準単体に引き戻すのかな、とか。
学部の最初の頃にやったようなストークスの証明も長方形（か三角形）でした。 -- いいじま (2011-07-20 00:23:01)

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