chap2.misc - （輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

内積・外積・行列式の関係

３次元の場合

次元ベクトル空間 を考えます。

２つのベクトル の内積 が符号を除いて ☆ の係数で書かれ、

２つのベクトル の外積 が と書かれるので、

は符号を除いて の係数で書かれます。

基底 をとり、行列 を

とすると、 になっています。

内積が 、外積が平行四辺形の面積を長さに持つ垂直なベクトルと考えると、 は のつくる平行四面体の体積になります。したがって標準基底 で見たとき行列式 はその成分の列ベクトルのなす体積になります。

４次元の場合

？？？

ｎ次元の場合

？？？

• 何故 、内積が〜　と表現できるのか？　（式番号も書いたほうが良いですね） -- いいじま (2011-05-04 17:48:02)
• 式番号は、wiki の式番号？ それともテキストのですか？ -- taka (2011-05-05 14:44:43)
• すいません、一応突っ込んでみただけです>内積　式番号はwikiに手動で振るしか無いですねぇ。 -- satoshi (2011-05-05 20:32:08)
• いえ、内積の値は基底の取り方に依存するので、さすが鋭いなと思いました -- taka (2011-05-06 22:23:20)
• HTMLアンカーを使った式参照を試してみました。ご検討ください。 -- taka (2011-05-06 23:05:26)
• 議論したい箇所にポンポン付けていけいいわけですね。GJです。　＞HTMLアンカー -- satoshi (2011-05-07 02:00:15)
• >内積の値は基底の取り方に依存　話が飛びますけど、依存しないような内積があったら嬉しいですよね（相対論で出てきたような）。ベクトルの”長さ”は座標系によって変わって欲しくないものです。 -- satoshi (2011-05-07 02:39:58)
• 共変ベクトルを変換すると反変ベクトルが逆変換されて両者の内積は不変、とすると、αと(*λ)の積は不変が正しいのかな？ -- taka (2011-05-08 18:19:34)
• 基準となる基底を定める必要はあるような気がするけど、基底に依存するというより「計量に依存する」という言い方の方が精密かもしれませんね。 -- taka (2011-05-08 18:21:59)
• >αと(*λ)の積は不変が正しいのかな？ 　相対論だとA^{u'}B_{u}'=A^{u}B_{u}　みたいな計算ですけど、共変・反変ベクトルの”数学的な”定義自体、あまり良く理解してないので（chap8のリーマン幾何あたりの所で出てくるかもです）とりあえず保留にしておきましょう（この辺、双対空間についての知識が無いとモヤモヤが取れない予感！）。 -- satoshi (2011-05-09 02:10:02)。 -- satoshi (2011-05-09 02:10:02)
• 了解です ＞ 保留 -- (2011-05-13 19:41:22)

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• 何故 、内積が〜　と表現できるのか？　（式番号も書いたほうが良いですね） -- いいじま (2011-05-04 17:48:02)
  • ここでは にユークリッドの内積が入ることと、規格直交基底をとることを仮定していますね。詳しくは chap2.5 chap2.6 chap2.7 ですが、機を見て適宜修正します。
  • アンカー名 (eq1) がページに直に表示されないので式番号表示としては不便かもしれませんね。

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