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（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap6.1

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taka

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Volumes in \mathbf{E}^n


体積など


体積素を
\omega = dx_1 dx_2 \dots dx_n
と置き、原点からの距離の２乗を
r^2 = \sum x_i^2
と置くと、半径１の球の体積は
V_n = \int_{r\le 1} \omega
と書かれる。また、n-1 次元球面 \mathbf{S}^{n-1} 上の体積素を \sigma' と書く
（後で具体的な定義を与える）とすると
A_{n-1} = \int_{\mathbf{S}^{n-1}} \sigma'
は半径１の球の表面積をあらわす。
（n-1 次元だから表面積というのも変な感じだが…）
たまねぎの様に考えると
V_n = \int_0^1 r^{n-1} A_{n-1} dr = \frac{1}{n} A_{n-1}
という関係が得られる。


\sigma' のかたち


1-形式
r dr = \sum x_i dx_i
は座標系の回転に依らないかたちである。
その双対の n-1 形式
* r dr = \sum (-1)^{i-1} x_i dx_1 \dots \Hat{dx_i} \dots dx_n
も座標系の回転に依らないので、\mathbf{S}^{n-1} 球面上の体積素に比例し
\sigma' = c (* r dr)
と書ける。定数 c はストークスの定理などを使って
A_{n-1} = \int_{\mathbf{S}^{n-1}} \sigma' = c \int_{\mathbf{S}^{n-1}} (* r dr) = c \int_{r \le 1} d (*r dr) = c \int_{r \le 1} n \omega = c n V_n = c A_{n-1}
より c = 1 となる。
したがって、\mathbf{E}^n 上の n-1 形式を
\sigma = * r dr
と置くと、\sigma の \mathbf{S}^{n-1} 上への制限が \sigma' となる。


引き戻し


\pi(\mathbf{x}) = \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}}
なる写像
\pi : \mathbf{E}^n - {0} \rightarrow \mathbf{S}^{n-1}
による \sigma' の引き戻しを考える。
d \pi^* \sigma' = \pi^* (d\sigma') = \pi^* (0) = 0
に注意する（d\sigma' は n-1 次元球面上の n 形式になるのでゼロである）。
仮に
\tau = \frac{\sigma}{r^n}
と置くと
d \tau = \frac{1}{r^n} d\sigma - \frac{n}{r^{n+2}} (rdr) \sigma = \frac{n\omega}{r^n} - \frac{nr^2\omega}{r^{n+2}} = 0
である。
*(\pi^* \sigma') は座標系の回転に依らないので、r だけを使って
*(\pi^* \sigma') = \frac{f(r)}{r^n} (rdr)
のように書くことができる。この双対をとると
\pi^* \sigma' = f(r) \tau
となり、さらに外微分することで
0 = d (\pi^* \sigma') = \frac{d f(r)}{d r} dr \wedge \tau
である。したがって \frac{d f(r)}{d r} = 0であり f(r) = c 定数である。
よって
\pi^* \sigma' = c \tau = c \frac{\sigma}{r^n}
だが、r=1 において \sigma' = \simga であったから c = 1 となり
\pi^* \sigma' = \frac{\sigma}{r^n} が得られた。

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