chap5.5＆chap5.6 - （輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap5.5＆chap5.6

Euclidean Simplices
ユークリッド空間の中で単体という概念を定義する
例えば２単体はをベクトルとして

↑三角形の辺と内部の点の集合
これを
とかく。

当然（同じ次元の）単体の和も考えたくなるから定義する(chain)。

この時点で、n単体が張る空間がベクトル空間になる臭いがプンプンです！
閉区間とか三角形が基底になるとか胸熱！

つぎに、境界演算子∂を定義する。
例からわかるように、まさに境界です。
コイツは単体sに２回作用すると0になることが示せる。
∂∂s=0
（ddω=0と似てる！）

”標準単体”を図のように定める（おそらく多様体の積分を定義するために）。

標準単体からn次元多様体Mへの写像Φを定めて、その像を特異n-単体という。
Φは逆像をもつことは仮定しない(ImΦが一点でもOK）。

特異n-単体の線形結合を特異n-chainという（この辺は単体の時と同じ）
境界作用素の定義と性質は単体と同じ。

M上のn-chainの集合をC_n(M)と書きます。
特異n-chainに対して∂を作用すると(n-1)chainになります（外微分dはn-formを一つ上げる演算子でした）。

• 難しい所だったので非常に助かります。
  このページは chap5.5&chap5.6 かな？
  単体を定義するのは、
  関数の積分のときに短冊形の区間の和に書くのと
  同じような意味合いでしょうか？ -- taka (2011-07-12 20:58:15)
• ＞関数の積分のときに短冊形の区間の和に書く　　僕もそういうイメージで、例えば２次元の時に３角形になるのは”単体の次元”と、
  単体を設置する次元の整合性がとれるからだと思います。 >このページは chap5.5&chap5.6 かな？ 直しました。指摘どーもです。 -- いいじま (2011-07-13 00:37:56)
• 標準単体のスカラー倍、たとえば[0,1]の２倍ってどういう意味でしょう？
  -- いいじま (2011-08-20 05:55:39)