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（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap3.5

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satoshi

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力学からの例

Φ=L,ψ=H,m=1
として書きます（こっちの方がわかりやすいと思うのでｗ）
L=L(x,v)
p:=\frac{\partial L}{\partial V}
（一般化運動量の定義）

ポテンシャルを考えない状況、つまり
L(x,v)=H(x,p)
である時
\frac{\partial H}{\partial x}=-\frac{\partial L}{\partial x} 　　　 (1)
v=\frac{\partial H}{\partial p} 　　 (2)
が成り立つことを示したい。（(2)はハミルトン方程式の一つ）

このときL=\frac{v^{2}}{2}より
2L=pv(p=vだから。) (3)

2dL=pdv+vdp（v,p)空間。（運動量、速度）の空間って何か違和感。。。
一方Lを普通に外微分して
dL=\frac{\partial L}{\partial x}dx+pdv (x,v)空間。こっちは普通だｗ　

引き算して

dL=vdp-\frac{\partial L}{\partial x}dx

これを
dH(x,p)=\frac{\partial H}{\partial x}dx+\frac{\partial H}{\partial p}dp
と比較すれば(1)(2)が得られる。

  • なるほど～この例は解析力学だったのか…運動エネルギーが位置に依存するのですね。
    テキストを読んだ時の最初の感想は「 H = L と (1) 式の両立は符号が変な感じがする」でした。
    でも偏微分を考えると合っていることがわかりました。 -- taka (2011-05-21 22:25:05)
  • 僕も最初違和感感じました。(3)式が出てきて納得ｗ -- satoshi (2011-05-22 09:45:51)
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