（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap4.1

最終更新：2011年05月28日 22:42

taka

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だれでも歓迎！編集

Moving flame on $E^{3}$

$d\bf x= \sigma_{i} \bf e^{i}$ 　 (1)
と書く。 $\sigma$ は1-form。 $e^{i}$ は当然動く。
$\sigma^{1} \land \sigma^{2} \land \sigma^{3}$ は $e^{i}$ が正規直交基底なので体積素になります。
基底が２種類って違和感！
$d\bf e_{i}=\omega_{il}\bf e_{l}$ (2)
と $d\bf e$ を展開。
$\Omega$ は1-formを成分にもつ行列。
正規直交基底の条件から、反対称行列になります。
これらから
構造方程式（structure equation)
$d\bf x= \bf \sigma \bf e$ 　 (3)
$d\bf e= \Omega \bf e$ 　(4)
$\Omega + \Omega^{t}=0$ 　(5)

が導けます。

また、 $d(d\bf x)=0$ から
$d\bf \sigma = \bf \sigma \Omega$ 　　 (6)
が
$d(d\bf e)=0$ より
$d\Omega = \Omega^{2}$ 　　　(7)
が導けます。
（この2-形式はイメージできないっ！可積分方程式って名前がついてるけど・・・）

E^3に対して座標を決めると(3)(4)(5)が決まってオマケで(6)(7)が出てきます。

試しに２次元極座標で（本の例は３次元極座標）計算してみたら、Ωは反対称行列になってくれなかった・・・orz
この章の前提はE^3だけど、E^2じゃダメってどこが違うんだろー

(7) 式あたりは Riemann 幾何の章でも出てくるっぽいですね。
＞E^2
テキストでは任意のE^nで同じような式が出てくるって書いてますけど何ででしょうね？ -- taka (2011-05-28 22:42:49)

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