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（輪読用）Differential Forms with Apprications to the Physical Sciences

chap5.misc

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satoshi

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接ベクトル

R^3の曲面\bf r(s,t)上の点pで\frac{\partial \bf r(s,t)}{\partial t}は曲面に接するベクトルになる。\frac{\partial \bf r(s,t)}{\partial s}も同じ。点ｐに接するベクトルはこの2つの基底の線形結合で
(a\frac{\partial \bf r(s,t)}{\partial t}+b\frac{\partial \bf r(s,t)}{\partial s})|_{p}
とかけます。
ここで飛躍して\bf r(s,t)をぬいた
\frac{\partial }{\partial s}
をベクトルとしてしまう！(やっぱり違和感）
点pの基底は
\frac{\partial }{\partial s}と\frac{\partial }{\partial t}の２つ。

多様体の場合も点pにおける「接空間の基底Tp(M)」を
\frac{\partial }{\partial x^{i}}
とする。n次元多様体なら基底はn個。

M上の点pの任意のベクトルは
v=X^{i}\frac{\partial }{\partial x^{i}}
とと線形結合でかける。
同じベクトルがオーバラップする別の座標系で
v=Y^{i}\frac{\partial }{\partial y^{i}}
と表されたとき、偏微分の記号の意味どおり計算すると（接ベクトルの）成分の変換則が得られる。
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