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超体積

最終更新：2008年07月06日 23:21

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n次元単体の超体積 $\frac{1}{n !} \sqrt{v^n}$

n次元単体の方向行列の内積行列の行列式を $v^n$ とすれば、n次元単体の超体積は $\frac{1}{n !} \sqrt{v^n}$ と書けることが知られている。

超体積の方向表記 $v^n$

$v^n = \det[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] = \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}\left[ \begin{pmatrix} | & | | \\ \mathbf{0} & \mathbf{L} \\ | & | | \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} | & | | \\ \mathbf{0} & \mathbf{L} \\ | & | | \end{pmatrix} \right] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}$

超体積の位置表記 $v^n$

$\begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{L} \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{L} \end{pmatrix} = (\mathbf{P} - \mathbf{p}_0 \mathbf{1}^T)^T (\mathbf{P} - \mathbf{p}_0 \mathbf{1}^T) = \mathbf{P}^T \mathbf{P} - \mathbf{P}^T \mathbf{p}_0 \mathbf{1}^T - \mathbf{1} \mathbf{p}_0^T \mathbf{P} + \mathbf{1} \mathbf{p}_0^T \mathbf{p}_0 \mathbf{1}^T$ となるため、余因子総和の定理から $v^n = \det[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] = \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}$ （超De Guaの定理）が言える。

超体積の辺乗表記 $v^n$

また、n次元単体の全ての辺の長さ的な項を要素に持つ(n+1)×(n+1)行列を $\tilde{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} & [0,i] & \vdots & \\ [j,0] \cdots & [j,i] & \frac{(\mathbf{p}_j - \mathbf{p}_i)^T (\mathbf{p}_j - \mathbf{p}_i)}{2} & [j,n] \cdots \\ & [n,i] & \vdots & \end{pmatrix}$ とすると、
$v^n = \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}\left[ - \tilde{\mathbf{B}} \right] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}$ （超Heronの公式）とも表せる。

これは、 $\begin{pmatrix} \frac{\mathbf{p}_0^T \mathbf{p}_0}{2} \\ \vdots \\ \frac{\mathbf{p}_n^T \mathbf{p}_n}{2} \end{pmatrix} = \tilde{\mathbf{b}}_\sigma$ とすると、 $- \tilde{\mathbf{B}} = \mathbf{P}^T \mathbf{P} - \mathbf{1} \tilde{\mathbf{b}}_\sigma^T - \tilde{\mathbf{b}}_\sigma \mathbf{1}^T$ と書けるため、前述の余因子総和の定理から $\overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}\left[ - \tilde{\mathbf{B}} \right] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}} = \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}[ \mathbf{P}^T \mathbf{P} ] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}$ となり、前述の超De Guaの定理に一致するということからもわかる。