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垂心

最終更新：2008年07月07日 04:33

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n次元単体の垂心の定義

n次元単体のi点から出るi垂線（i=0～n）の(n+1)本全てが1点で交わるとき、この点を垂心と呼ぶ。
垂心が存在するならば、全ての $i = 1 \sim n$ において $\mathbf{l}_H = \mathbf{h}_0 \frac{v_0}{\mathbf{h}_0^T \mathbf{h}_0} = \mathbf{l}_i + \mathbf{h}_i \frac{v_i}{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i}$ となるベクトルの方向にあるはずである。つまり、 $v_i$ は
$\mathbf{L}^T \mathbf{l}_H = \overset{[n]}{\mathbf{1}} v_0 = \begin{pmatrix} [1] & v_0 \\ & \vdots \\ & \vdots \\ [n] & v_0 \end{pmatrix} = \mathbf{L}^T \mathbf{l}_i - \mathbf{e}_i v_i = \begin{pmatrix} [1] & \vdots \\ [j \neq i] & \mathbf{l}_j \mathbf{l}_i \\ [j = i] & \mathbf{l}_i \mathbf{l}_i - v_i \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$ を満たせばよい。したがって、全ての $j = 1 \sim n, \mbox{ } k = 1 \sim n$ について
$v_0 = \mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_k = (\mathbf{p}_j - \mathbf{p}_0)^T (\mathbf{p}_k - \mathbf{p}_0) [j \neq k]$ となるときに限り垂心が存在し、 $v_i = \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i - v_0$ となる。

等内積単体定理

n次元単体の0点を始点とする異なる有向辺の内積値の全てが $\mathbf{l}_j^T \mathbf{l}_k = v_0 [(j,k = 1 \sim n) & (j \neq k)]$ となるなら、そのn次元単体のi点を始点とする異なる有向辺の内積値の全ては $(\mathbf{l}_j - \mathbf{l}_i)^T (\mathbf{l}_k - \mathbf{l}_i) = \mathbf{l}_i^T \mathbf{l}_i - v_0 = v_i [(i,j,k = 0 \sim n) & (i \neq j \neq k \neq i)]$ となる。このn次元単体を等内積単体と呼ぶ。

等内積単体の性質の方向表記

等内積単体の方向行列の内積行列を $\mathbf{V} = \mathbf{L}^T \mathbf{L} = \begin{pmatrix} v_1 + v_0 & v_0 & \cdots & v_0 \\ v_0 & v_2 + v_0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & v_0 \\ v_0 & \cdots & v_0 & v_n + v_0 \end{pmatrix} = \mathbf{\Sigma}[\mathbf{v}] + \overset{[n]}{\mathbf{1}} v_0 \overset{[n]}{\mathbf{1}}^T$ （ベクトル $\mathbf{v}$ の要素を対角成分に持つ対角行列を $\mathbf{\Sigma}[\mathbf{v}]$ で表す）とし方向等内積行列と呼ぶ。

方向等内積行列 $\mathbf{V}$ は $\tilde{\mathbf{v}} = \begin{pmatrix} v_0 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}$ とすれば、 $\det[\mathbf{V}] = \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}\left[ \mathbf{\Sigma}[\tilde{\mathbf{v}}] \right] \overset{[n+1]}{\mathbf{1}}, \mbox{ }$
$\mathbf{C}[\mathbf{V}] = \begin{pmatrix} \overset{[n]}{\mathbf{0}} \overset{[n \times n]}{\mathbf{E}} \end{pmatrix} \tilde{\mathbf{C}}\left[ \mathbf{\Sigma}[\tilde{\mathbf{v}}] \right] \begin{pmatrix} \overset{[n]}{\mathbf{0}} \overset{[n \times n]}{\mathbf{E}} \end{pmatrix}^T$ となる性質がある。
このことより、 $\mathbf{V}^{-1} \overset{[n]}{\mathbf{1}} = \frac{\mathbf{C}[\mathbf{V}] \overset{[n]}{\mathbf{1}}}{\det[\mathbf{V}]} = \frac{\frac{1}{v_0}}{\sum_{j=0}^n \frac{1}{v_j}} \begin{pmatrix} \frac{1}{v_1} \\ \vdots \\ \frac{1}{v_n} \end{pmatrix}$ と書ける。

n次元単体の0点から垂心への方向ベクトル $\mathbf{l}_H$

n次元単体の垂心はそのn次元単体の方向行列の内積行列が $\mathbf{L}^T \mathbf{L} = \mathbf{V}$ という方向等内積行列となる（等内積単体となる）場合に限り存在し、方向ベクトルは
$\mathbf{l}_H = \mathbf{L} \mathbf{V}^{-1} \mathbf{1} v_0 = \mathbf{L} \begin{pmatrix} [1] & \vdots \\ [i] & \frac{\frac{1}{v_i}}{\sum_{j=0}^n \frac{1}{v_j}} \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$ となる。

原点からn次元単体の垂心への位置ベクトル $\mathbf{p}_H$

n次元単体の垂心は $(\mathbf{p}_j - \mathbf{p}_0)^T (\mathbf{p}_k - \mathbf{p}_0) = v_0 [j \neq k]$ (j,k=1～n)となるときに限り存在し、 $v_i = (\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_0)^T (\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_0) - v_0$ (i=1～n)とおけば、位置ベクトルは
$\mathbf{p}_H = \mathbf{p}_0 + \mathbf{l}_H = \mathbf{P} \begin{pmatrix} [0] & \vdots \\ [i] & \frac{\frac{1}{v_i}}{\sum_{j=0}^n \frac{1}{v_j}} \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$ と書ける。

等内積単体の性質の辺乗・位置表記

n次元等内積単体（全てのi,j,k(=0～n)に対して $(\mathbf{p}_j - \mathbf{p}_i)^T (\mathbf{p}_k - \mathbf{p}_i) = v_i [i \neq j \neq k \neq i]$ ）において辺乗行列は
$\tilde{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{v_0 + v_1}{2} & \cdots & \frac{v_0 + v_n}{2} \\ \frac{v_1 + v_0}{2} & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{v_{n-1} + v_n}{2} \\ \frac{v_n + v_0}{2} & \cdots & \frac{v_n + v_{n-1}}{2} & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbf{1} \tilde{\mathbf{v}}^T + \tilde{\mathbf{v}} \mathbf{1}^T}{2} - \Sigma[\tilde{\mathbf{v}}]$ と書ける。

また、 $v'_i = \mathbf{p}_i^T \mathbf{p}_i - v_i$ とすると、
$\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \begin{pmatrix} \mathbf{p}_0^T \mathbf{p}_0 & \frac{v'_0 + v'_1}{2} & \cdots & \frac{v'_0 + v'_n}{2} \\ \frac{v'_1 + v'_0}{2} & \mathbf{p}_1^T \mathbf{p}_1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{v'_{n-1} + v'_n}{2} \\ \frac{v'_n + v'_0}{2} & \cdots & \frac{v'_n + v'_{n-1}}{2} & \mathbf{p}_n^T \mathbf{p}_n \end{pmatrix}$ と書ける。