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垂線

最終更新：2008年07月07日 04:40

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n次元単体の垂線の定義

n次元単体のi点からi対面へ垂直に向かうベクトルをi垂線 $\mathbf{h}_i$ と書く。
$\mathbf{L}$ で表されるn次元空間への正射影行列は $\mathbf{W}[\mathbf{L}] = \mathbf{L} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \mathbf{L}^T = \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \mathbf{P}^T$
となることから、i垂線は $\mathbf{h}_i = - \left( \overset{[m \times m]}{\mathbf{E}} - \mathbf{W}\left[\underset{\ominus \mathbf{l}_i}{\mathbf{L}}\right] \right) \mathbf{l}_i$ と表せる。

n次元単体のi垂線の方向表記

$\mathbf{h}_i = \left{ \begin{matrix} [i = 0] & \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \overset{[n]}{\mathbf{1}}}{\overset{[n]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \overset{[n]}{\mathbf{1}}} = \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{1}}{v_0^{n-1}} \\ [i \neq 0] & - \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \overset{[n]}{\mathbf{e}_i}}{\overset{[n]}{\mathbf{e}_i}^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \overset{[n]}{\mathbf{e}_i}} = - \frac{\mathbf{L} \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{e}_i}{v_i^{n-1}} \end{matrix} \right.$ と書ける。

n次元単体のi垂線の位置表記

$\mathbf{h}_i = - \frac{\mathbf{P} \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \overset{[n+1]}{\tilde{\mathbf{e}_i}}}{\overset{[n+1]}{\tilde{\mathbf{e}_i}}^T \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \overset{[n+1]}{\tilde{\mathbf{e}_i}}} = - \frac{\mathbf{P} \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}_i}}{v_i^{n-1}}$ と書ける。

n次元単体の垂線長の自乗 $\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i$

n次元単体の超表面積をふまえて、
$\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i = \frac{v^n}{v_i^{n-1}} = \left{ \begin{matrix} [i = 0] & \frac{\det[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{\mathbf{1}^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{1}} \\ [i \neq 0] & \frac{\det[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{\mathbf{e}_i^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{e}_i} \end{matrix} \right.$
$\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i = \frac{\mathbf{1}^T \mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \mathbf{1}}{\tilde{\mathbf{e}_i}^T \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] \tilde{\mathbf{e}_i}} = \frac{\mathbf{1}^T \mathbf{C}[- \tilde{\mathbf{B}}] \mathbf{1}}{\tilde{\mathbf{e}_i}^T \tilde{\mathbf{C}}[- \tilde{\mathbf{B}}] \tilde{\mathbf{e}_i}}$ と書ける。

逆垂線総和定理

$\frac{\mathbf{h}_i}{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i} = - \mathbf{P} \frac{\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]}{v^n} \overset{[n+1]}{\mathbf{e}_i} = \left{ \begin{matrix} [i = 0] & \mathbf{L} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \overset{[n]}{\mathbf{1}} \\ [i \neq 0] & - \mathbf{L} \frac{\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}]}{v^n} \overset{[n]}{\mathbf{e}_i} \end{matrix} \right.$ とも書けるので、
$\sum_{i=0}^n \frac{\mathbf{h}_i}{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i} = \overset{[m]}{\mathbf{0}}$ （逆垂線総和定理）が成り立つ。