単体導出/内心 - NEETUBOTの完全座標幾何学 | 超現代和算二大最重要概念Bipolar双極座標系Elliptic楕円座標系で射影幾何問題も一発よ Complete Coordinate System Geometry 唵ーん！

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n次元単体の内心・傍心の定義

n次元単体の傍心をi対面(i=0～n)からの距離が全て等しくなる点とし、特にn次元単体の内部にある傍心を内心とする。傍心を $\mathbf{l}_J = \mathbf{L} \mathbf{a}_J$ で表すと、この内心からi対面 $(i = 1 \sim n)$ への垂線は $- \left( \overset{[m \times m]}{\mathbf{E}} - \mathbf{W}\left[\underset{(\ominus \mathbf{l}_i)}{\mathbf{L}}\right] \right) \mathbf{L} \mathbf{a}_J = \mathbf{h}_i a_{iJ}$ と書ける。そして、内接超球の半径を $r_J$ とすると、 $r_J^2 = \mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i a_{iJ}^2 (a_{iI} > 0)$ が言える。このことから $\mathbf{a}_J = \begin{pmatrix} [1] & \vdots \\ [i] & \frac{\pm r_J}{\sqrt{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i}} \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$ となり、0対面と内心が作るn次元単体の体積の関係より $\left( \overset{[n]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \overset{[n]}{\mathbf{1}} \right) r_J^2 = \det[(\mathbf{L}-\mathbf{l}_I \mathbf{1}^T)^T (\mathbf{L}-\mathbf{l}_I \mathbf{1}^T)], \mbox{ }$ $\frac{r_J^2}{\mathbf{h}_0^T \mathbf{h}_0} = \det^2 \left[ \overset{[n \times n]}{\mathbf{E}} - \mathbf{a}_J \overset{[n]}{\mathbf{1}}^T \right] = \left( 1 - \overset{[n]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{a}_J \right)^2$ が成り立つ。

n次元単体の内接・傍接超球の半径 $r_I$ ・ $r_{J_i^k}$

k個の-1と(n+1-k)個の1を成分に持つ(n+1)列ベクトル（ ${}_{n+1} C_k$ 通りある組合せのうちi(=0 ～ $({}_{n+1} C_k - 1)$ )番目の組合せ）を $\tilde{\mathbf{\delta}}_{J_i^k} = \begin{pmatrix} \tilde{\delta}_{0 J_i^k} \\ \vdots \\ \vdots \\ \tilde{\delta}_{n J_i^k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vdots \\ -1 \\ 1 \\ \vdots \end{pmatrix}$ で表し傍デルタベクトルと呼ぶ。これを用いると、 $F_{J_i^k} = \sum_{j=0}^n \frac{\tilde{\delta}_{j J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} > 0$ となる場合に限り、 $r_{J_i^k} = \frac{1}{ F_{J_i^k} }$ と表せる。

また、 $F_{J_i^k} = 0$ となる場合も無限大の半径を持つ1つの場合と数えれば、k=0～(n+1)およびi=0 ～ $({}_{n+1} C_k - 1)$ となる $2^{n+1}$ 通りの場合のうち $F_{J_i^k} \ge 0$ となる $2^n$ 通りの場合で傍心が存在すると言える。これをk次i傍心と呼ぶと、0次0傍心が内心となる。
ちなみに、n次元単体の(n+1)本ある逆垂線長 $\frac{1}{\sqrt{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i}}$ (i=0～n)の任意の $n+1-k (\frac{n+1}{2} < n+1-k \leq n+1)$ 個の和（ $_{n+1} C_k$ 通りある）は、それ以外の逆垂線長の $k (0 \leq k < \frac{n+1}{2})$ 個の和より大きくなると予想できる。

このとき、内接超球の半径は $r_I = r_{J_0^0}$ と言えるので、 $r_I = \frac{1}{\sum_{j=0}^n \frac{1}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}}}$ と書ける。
n次元単体の垂線長をふまえると、 $\sqrt{\mathbf{X}} = \begin{pmatrix} \sqrt{x_{11}} & \cdots & \sqrt{x_{1n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sqrt{x_{m1}} & \cdots & \sqrt{x_{mn}} \end{pmatrix}$ とすれば、 $r_I = \frac{\sqrt{\mathbf{1}^T \mathbf{C}[- \tilde{\mathbf{B}}] \mathbf{1}}}{\mathbf{1}^T \mathbf{\Sigma}\left[ \sqrt{\tilde{\mathbf{C}}[- \tilde{\mathbf{B}}]} \right] \mathbf{1}}$ と辺乗表記できる。
また、傍接超球の半径は $\mathbf{1}^T \mathbf{\Sigma}\left[ \sqrt{\tilde{\mathbf{C}}[- \tilde{\mathbf{B}}]} \right] \tilde{\mathbf{\delta}}_{J_i^k} > 0$ の場合に限り $r_{J_i^k} = \frac{\sqrt{\mathbf{1}^T \mathbf{C}[- \tilde{\mathbf{B}}] \mathbf{1}}}{\mathbf{1}^T \mathbf{\Sigma}\left[ \sqrt{\tilde{\mathbf{C}}[- \tilde{\mathbf{B}}]} \right] \tilde{\mathbf{\delta}}_{J_i^k}}$ と辺乗表記できる。

n次元単体の0点から内心・傍心への方向ベクトル $\mathbf{l}_I$ ・ $\mathbf{l}_{J_i^k}$

$F_{J_i^k} = \sum_{j=0}^n \frac{\tilde{\delta}_{j J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \ge 0$ となるとき、
$\mathbf{l}_{J_i^k} = \mathbf{L} \mathbf{a}_J = \mathbf{L} \begin{pmatrix} \frac{\tilde{\delta}_{1 J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \\ \vdots \\ \frac{\tilde{\delta}_{n J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \end{pmatrix} r_{J_i^k} = \mathbf{L} \begin{pmatrix} \frac{\tilde{\delta}_{1 J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \\ \vdots \\ \frac{\tilde{\delta}_{n J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \end{pmatrix} \frac{1}{\sum_{j=0}^n \frac{\tilde{\delta}_{j J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}}}$
（ $F_{J_i^k} = 0$ のとき $\mathbf{l}_{J_i^k}$ は $\frac{\mathbf{l}_{J_i^k}}{r_{J_i^k}}$ の方向の無限遠点となるとする）と表せる。この式で表されるn次元単体のk次i傍心は、負の座標の個数kと組合せiの値によって $2^n$ 通り存在する。

$\mathbf{l}_I = \mathbf{l}_{J_0^0} = \mathbf{L} \begin{pmatrix} [1] & \vdots \\ [i] & \frac{\frac{1}{\sqrt{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i}}}{\sum_{j=0}^n \frac{1}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}}} \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$

原点からn次元単体の内心・傍心への位置ベクトル $\mathbf{p}_I$ ・ $\mathbf{p}_{J_i^k}$

$F_{J_i^k} = \sum_{j=0}^n \frac{\tilde{\delta}_{j J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \ge 0$ となるとき、
$\mathbf{p}_{J_i^k} = \mathbf{p}_0 + \mathbf{l}_{J_i^k} = \mathbf{P} \begin{pmatrix} \frac{\tilde{\delta}_{0 J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \\ \vdots \\ \frac{\tilde{\delta}_{n J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \end{pmatrix} r_{J_i^k} = \mathbf{P} \begin{pmatrix} \frac{\tilde{\delta}_{0 J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \\ \vdots \\ \frac{\tilde{\delta}_{n J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}} \end{pmatrix} \frac{1}{\sum_{j=0}^n \frac{\tilde{\delta}_{j J_i^k}}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}}}$
（ $F_{J_i^k} = 0$ のとき $\mathbf{p}_{J_i^k}$ は $\frac{\mathbf{p}_{J_i^k}}{r_{J_i^k}}$ の方向の無限遠点となるとする）と表せる。この式で表されるn次元単体のk次i傍心は、負の座標の個数kと組合せiの値によって $2^n$ 通り存在する。

$\mathbf{p}_I = \mathbf{p}_{J_0^0} = \mathbf{P} \begin{pmatrix} [0] & \vdots \\ [i] & \frac{\frac{1}{\sqrt{\mathbf{h}_i^T \mathbf{h}_i}}}{\sum_{j=0}^n \frac{1}{\sqrt{\mathbf{h}_j^T \mathbf{h}_j}}} \\ [n] & \vdots \end{pmatrix}$

n次元単体のi点・内心・1次i傍心（座標のi行目だけが負となる傍心）は一直線上にあり、i点と内心の距離：i点と1次i傍心の距離＝ $r_I$ ： $r_{J_i^1}$ という比になる。

ちなみに、n次元超球の周囲（n元超球面）をくまなく見るためには、その超球を内接超球に持つn次元単体を考えれば、最低でもそのn次元単体の頂点より遠くにある(n+1)視点から見なければならないことがわかる。

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最終更新：2008年11月30日 20:46