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余因子行列

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転置余因子行列の定義


n×n行列 \mathbf{X} のi行とj列を除く(n-1)×(n-1)部分行列の行列式をj行i列の要素に持つn×n行列 \mathbf{C}[ \mathbf{X} ] を転置余因子行列と呼び次式のように定義する。
\mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] = \begin{pmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}, \mbox{ } c_{ji} = (-1)^{(i+j)} \det\left[ \underset{(\ominus \mathbf{l}_i)}{\mathbf{L}}^T \underset{(\ominus \mathbf{l}_j)}{\mathbf{L}} \right] （ただし、 \mathbf{L} が1列しかない場合には、 c_{ji} = 1 とする。）

転置余因子行列 \mathbf{C} の性質


任意の正方行列 \mathbf{X} の余因子総和について、 \mathbf{1}^T \mathbf{C}[ \mathbf{X} ] \mathbf{1} = \det\left[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & & & \\ \vdots & & \mathbf{X} & \\ -1 & & & \end{pmatrix} \right] とも書ける。

このことを用いれば、任意の正方行列 \mathbf{X} とそれと同じ列数を持つ任意の列ベクトル \mathbf{a} について、 \mathbf{1}^T \mathbf{C}[\mathbf{X} - \mathbf{a} \mathbf{1}^T] \mathbf{1} = \mathbf{1}^T \mathbf{C}[\mathbf{X} - \mathbf{1} \mathbf{a}^T] \mathbf{1} = \mathbf{1}^T \mathbf{C}[ \mathbf{X} ] \mathbf{1} （余因子総和の定理）が成り立つ。

余因子総和行列の定義


(n+1)×(n+1)行列 \tilde{\mathbf{X}} のi行とj列を除くn×n部分行列の余因子総和をj行i列の要素に持つ(n+1)×(n+1)行列 \tilde{\mathbf{C}}[ \tilde{\mathbf{X}} ] を余因子総和行列と呼び次式のように定義する。
\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] = \begin{pmatrix} \tilde{c}_{00} & \cdots & \tilde{c}_{0n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{c}_{n0} & \cdots & \tilde{c}_{nn} \end{pmatrix}, \mbox{ } \tilde{c}_{ji} = (-1)^{(i+j)} \left( \overset{[n]}{\mathbf{1}}^T \mathbf{C}\left[ \underset{(\ominus \mathbf{p}_i)}{\mathbf{P}}^T \underset{(\ominus \mathbf{p}_j)}{\mathbf{P}} \right] \overset{[n]}{\mathbf{1}} \right)

\mathbf{P}^T \mathbf{P} の余因子総和行列は、 \tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}] = \begin{pmatrix} \mathbf{1}^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{1}, & - \mathbf{1}^T \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \\ - \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \mathbf{1}, & \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] \end{pmatrix} となり、 \mathbf{L}^T \mathbf{L} の余因子行列 \mathbf{C}[\mathbf{L}^T \mathbf{L}] を1次元過剰にしたような行列である。

余因子総和行列 \tilde{\mathbf{C}} の性質


\tilde{\mathbf{C}} \mathbf{P}^T \mathbf{P} \tilde{\mathbf{C}} = \tilde{\mathbf{C}} v^n, \mbox{ } \tilde{\mathbf{C}} \overset{[n+1]}{\mathbf{1}} = \overset{[n+1]}{\mathbf{0}} のような性質がある。


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