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直交単体の例

最終更新：2009年02月04日 17:30

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における n次元直交単体の五心などの導出例

単体の五心などの導出をふまえて、0-点からi-点(i=1～n)への互いに直交するベクトルで作られるn次元直交単体を例に、単体の五心の導出過程を略記する。

例とするn次元直交単体

0-点 $\overset{[m]}{\mathbb{0}}$ とi-点(i=1…n) $\overset{[m]}{\mathbf{e}_{i r}} = \begin{pmatrix} [=i] & r_i \\ [\neq i] & 0 \end{pmatrix}$ によって作られるn次元直交単体の位置行列を $\mathbf{P} = \overset{[m \times (n+1)]}{\mathbf{E}'_r} = \begin{pmatrix} | & | & &| \\ \overset{[m]}{\mathbb{0}} & \mathbf{e}_{1 r} & \cdots & \mathbf{e}_{n r} \\ | & | & & | \end{pmatrix}$ とする。

$\tilde{\mathbf{r}}=\begin{pmatrix} [0] & 0 \\ [i=1\cdots n] & r_i \end{pmatrix}$ とすれば、 $\mathbf{P}^T \mathbf{P}=\mathbf{\Sigma}^2[\tilde{\mathbf{r}}]$ なので、転置余因子行列 $\mathbf{C}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]=\begin{pmatrix} \prod_i r_i^2 & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \\ \vdots & & \ddots \end{pmatrix}$ 、余因子総和行列 $\tilde{\mathbf{C}}[\mathbf{P}^T \mathbf{P}]=\begin{pmatrix} \sum_i \prod_{j\neq i} r_j^2 & \cdots & [0,i] -\prod_{j\neq i} r_j^2 & \cdots \\ \vdots & \ddots & \cdots & 0 \\ [i,0] -\prod_{j\neq i} r_j^2 & \vdots & [i,i] \prod_{j\neq i} r_j^2 & \vdots \\ \vdots & 0 & \cdots & \ddots \end{pmatrix}$ となる。

n次元直交単体の重心

$\mathbf{p}_G [\mathbf{E}'_r] = \frac{\mathbf{E}'_r \tilde{\mathbb{1}}}{\tilde{\mathbb{1}}^T \tilde{\mathbb{1}}} = \begin{pmatrix} [j=1\cdots n] & \frac{r_j}{n+1} \\ [j=(n+1)\cdots m] & 0 \end{pmatrix}$

n次元直交単体の垂心

$\nu_0=0$ , $\nu_i=r_i^2$
$\mathbf{p}_H [\mathbf{E}'_r] = \frac{\mathbf{E}'_r \begin{pmatrix} [0] & 1 \\ [j] & \frac{\nu_0}{\nu_j} \end{pmatrix}}{\mathbb{1}^T \begin{pmatrix} [0] & 1 \\ [j] & \frac{\nu_0}{\nu_j} \end{pmatrix}} = \overset{[m]}{\mathbb{0}}$

n次元直交単体の内心・傍心

$\mathbf{p}_I [\mathbf{E}'_r] = \frac{\begin{pmatrix} [j=1\cdots n] & 1 \\ [j=(n+1)\cdots m] & 0 \end{pmatrix}}{\sqrt{\mathbb{1}^T \mathbf{\Sigma}^{-2}[\tilde{\mathbf{r}}] \mathbb{1}} + \mathbb{1}^T \mathbf{\Sigma}^{-1}[\tilde{\mathbf{r}}] \mathbb{1}}$

$\mathbf{p}_J [\mathbf{E}'_r] = \frac{\begin{pmatrix} [j=1\cdots n] & \delta_{j J_i^k} \\ [j=(n+1)\cdots m] & 0 \end{pmatrix}}{\sqrt{\mathbb{1}^T \mathbf{\Sigma}^{-2}[\tilde{\mathbf{r}}] \mathbb{1}} + \mathbb{1}^T \mathbf{\Sigma}^{-1}[\tilde{\mathbf{r}}] \mathbb{1}}$

n次元直交単体のk次元面心

$\mathbf{p}_{K k} [\mathbf{E}'_r] =$

n次元直交単体の外心

$\mathbf{p}_O [\mathbf{E}'_r] = \frac{\mathbf{E}'_r \tilde{\mathbb{1}}}{\tilde{\mathbb{1}}^T \tilde{\mathbb{1}}} = \begin{pmatrix} [j=1\cdots n] & \frac{r_j}{2} \\ [j=(n+1)\cdots m] & 0 \end{pmatrix}$